立意于“基本经验”的“相似三角形判定定理3”课例及分析

田海霞

摘 要：帮助学生积累基本经验是数学教学的重要目标。但在以“相似三角形判定定理3”为载体的研修活动中发现，教师设计与组织的数学活动普遍不能满足学生积累基本经验的需要。鉴于此，本文在重复式观课与反思基础上，针对课程授课活动展开重建，在经过改善以后的教育成果被众多教师所认同。

关键词：基本经验;相似三角形判定定理;教学方法;案例分析

一、背景介绍

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“帮助学生积累数学活动经验是数学教学的重要目标”。但在以浙教版《数学》九年级上册第四章第4节“相似三角形的判定定理3”为载体的“多人同课异构”式的研修活动中发现，教师设计与组织的数学活动普遍不能满足学生积累基本数学经验的需要。网上查阅同类课例发现也有类似现象。鉴于此，本研究在重复式观课以及反思的前提下，针对课程授课活动展开重建，在经过改善以后的教育成果被众多教师所认同。

二、教学实录

环节1：经历回顾并提出问题的过程——明确研究问题

师：我们知道，有一个角对应相等的两个三角形不一定相似;有两个角对应相等的两个三角形相似;两边对应成比例的两个三角形不一定相似;两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似（已知角不是夹角的不一定相似）。三边对应成比例的两个三角形相似吗？本节课就来研究这个问题。（揭示课题）

环节2：探索三角形相似的条件——生成相似三角形判定定理3

师：现在请大家依次完成下列任务。

（1）在白纸上画一个△ABC。

（2）作一个△A'B'C'，使.

（3）议一议：△ABC与△A'B'C'是不是相似三角形。

（待学生完成任务）

师：△ABC与△A'B'C'相似吗？

生1：好像相似。但说不出它们对应角相等的理由。

师：其他同学探索结果如何？

众生：好像相似，但需要证明。

师：好的。我们虽然不能完全肯定，但可以提出这样的猜想：三边对应成比例的两个三角形相似。证明该猜想是准确的，需要学生按照顺序完成下面的任务活动。

（1）在所画的图形上标注已知条件。

（2）结合图形写出已知与求证。

（待学生完成任务）

师：如图1，要证△ABC∽△A'B'C'，只要证什么？

生2：只要证△ABC与△A'B'C'的其中一对内角相等。

师：有道理。能证它们的其中一对内角相等吗？好像“已知与求证”难以沟通。

生3：如图1，像证相似三角形判定定理1和判定定理2一样，在△A'B'C'中构造△A'DE，使△A'DE≌△ABC，只要证△A'DE∽△A'B'C'.

师：有道理。怎样构造△A'DE，使△A'DE∽△A'B'C'且△A'DE≌△ABC？

生4：如图1，在△A'B'C'的A'B'边上截取A'D=AB，过点D作DE∥B'C'，交A'C'于点E，则△A'DE∽△A'B'C'（预备定理）。

师：好的。要证△A'DE≌△ABC，只要证什么？

生5：因为A'D=AB（作图），只要证A'E=AC， DE=BC.

师：好的。怎样证A'E =AC，DE=BC？

众生：困惑、期待。

师：因为△A'DE∽△A'B'C'，所以，

又因为A'D=AB，所以，

因为（已知），所以，

所以A'E=AC.同理DE=BC.

这样△A'DE∽△A'B'C'且△A'DE≌△ABC，

所以△ABC∽△A'B'C'.

师：请大家把证明过程完整地写出来，若有困难，可参考课本的写法。

（待学生完成任务）

师：证明这个判定定理的基本思路是什么？

生6：根据相似三角形的传递性，通过构造全等三角形来证明。

生7：通过构造全等三角形把分散的条件集中起来。

师：有道理。我们根据相似三角形传递性，用构造全等三角形的方法来实现化归（把分散的两个三角形转化为预备定理的几何模型，从而使分散的条件相互沟通）。这种化归思想以后会经常用到。

师：证A'E=AC的基本思路是什么？

生8：用两组比例线段来传递边的相等关系。

师：非常好！这种用等量传递的方法来证线段相等以后也会经常用到。

环节3：参与尝试定理应用的活动——合作解决有代表性的问题

师：现在判断两个三角形相似有哪些方法？

生9：相似三角形的定义、预备定理、判定定理1、判定定理2和判定定理3.

师：不错。下面我们一起来解决下列问题1.

問题1：如图2，4×4方格中的两个三角形是否相似？为什么？

师（稍停顿后）：要判断图中的两个三角形是否相似，找边的关系容易，还是找角的关系容易？

生10：找边的关系容易。因为图中三角形每条边的长度可以算出来的。

师：有道理。若设每一个小方格的边长为1，则每个三角形的边长是多少？

生11：

师：好的。AB、BC、CA的对应边分别是什么？它们是否对应成比例？

生12：AB、BC、CA的对应边分别是EF、FD、DE.因为，所以它们对应成比例。

师：好的。请大家把解题过程完整地写出来。

（待学生完成任务）

师：下面我们再一起来解决下列问题2.

问题2：已知：如图3，O为△ABC内一点，A'，B'，C'分别是OA，OB，OC上的点，且.求证：△A'B'C'∽△ABC.

师：根据已知条件，在图中你能发现哪几对相似三角形？

生13：根据已知条件可推出：△OA'B'∽

△OAB，△OB'C'∽△OBC，△OC'A'∽△OCA.

師：不错。由此，可推出哪些成比例的关系式？

生14：.

师：好的。这样△A'B'C'∽△ABC吗？为什么？

生15：因为，

所以△A'B'C'∽△ABC.

师：好的。请大家把证明过程完整地写出来。若有困难，请参考课本的写法。

（待学生完成任务）

师：解决这个问题的基本思路是什么？

生16：用等量传递来寻找所需要的成比例线段。

师：不错。等量传递的解题经验以后会经常用到。如图4，若将图3中的点O移到BC上，且，则△A'B'C'∽△ABC吗？为什么？

生17：△A'B'C'∽△ABC.

因为，∠B'OA'=∠BOA，

所以△B'OA'∽△BOA，所以∠A'B'O=∠B.

同理可得，∠A'C'O=∠C，所以△A'B'C'∽△ABC。

生18：因为△B'OA'∽△BOA，

所以，∠B'A'O=∠BAO.

同理可得，，∠C'A'O=∠CAO，

所以，∠B'A'C'=∠BAC，

所以△A'B'C'∽△ABC.

师：好的。下面请大家完成课本中的练习题。

（待学生完成任务后教师组织学生交互反馈与评价）。

环节4：参与回顾与思考的活动——合作进行反思与总结

师：本节课研究了哪些内容？

生19：本节课研究了相似三角形判定定理3及其应用。

师：好的。我们是怎样研究的？

生20：先探索并证明判定定理3，再用判定定理3解决几何问题。

师：不错。大家在学习过程中还有哪些收获或体会？

生21：当直接证两个三角形相似有困难时，可考虑用相似三角形的传递性。

生22：等量传递是沟通已知与未知的桥梁。

生23：等量传递也是证线段相等或角相等的方法。

师：好！等量传递是解题的基本经验，在后继学习中会经常用到。

三、教学分析

张奠宙教授觉得数学活动经验主要指的是“在数学目标的不断引导之下，针对实际事物展开思考以及操作，实现感性向理性的转变，进而形成新型认知”。基于此分析表明，教育教学经验主要是在思考以及做当中经过沉淀得到的。所以教师需要依照具体的教育内容进行设计，并且组织多种活动的顺利展开，让学生可以掌握更多的学习经验。相似三角形判定定理3也是判定两个三角形相似的重要工具;证明相似三角形判定定理3的基本思路对后继学习有指导作用。探索与证明判定定理3的过程和所蕴含的归纳思想、类比思想、构造思想、演绎思想等，定理的应用过程和所蕴含的数形结合思想及等量传递的经验等，这些对发展学生的智力、能力和个性有积极的影响。尽管判定定理3及其证明方法“课标要求”是“了解”，但定理的探索与证明的过程有能力发展点，特别是通过构造全等三角形来实现化归的思想方法和等量传递的解题经验对后继学习有指导作用。目前在该课的教学中，大多数教师没有经历分类探索的过程;有些教师缺乏探索定理的过程;某些教师会对定理以前的具体分析过程进行证明;在判定定理以后缺少相应的反思活动;大多数教师在认知过程中没有留给学生足够的自主思考与实践的时间和合作交流的机会。这不能满足学生积累基本数学经验的需要。

本课例在“精致化”分析基础上，把具体的教育活动立足在数学经验方面，由学生掌握的知识点与技能着手分析，并且让他们处理与解决实际数学问题，在对问题进行探究分析的时候，让他们积累更多的经验。将课本内容当做是关键，经过教师价值方面的指引，和学生的实际情况有效整合起来，提升他们的认知水平与能力。在现阶段的“回顾并提出问题”实际授课的时候，一方面需要对三角形判定有关内容进行回顾，另一方面也提出有关问题，采取合理的措施和方式方法，实现新知识和旧知识之间的良好关联，激发出学生的学习激情以及欲望。在“探索并证明判定定理3”实际授课的时候，不只是凭借现有的经验参与到“画图猜想→分析证明→多样表达”的过程，以获得判定定理3及发展探索与证明的能力，并且做好判定定理反思，以积淀用构造全等三角形来实现化归和用两组比例线段来传递边的相等关系的数学活动经验。在“解决问题1”的教学中，一方面需要做好判断以前的分析，另一方面也要做好判断以后的说理，对判定定理3进行巩固，提升学生的计算能力与水平。在“解决问题2”的教学中，既有证明之前的观察，以发展学生的观察能力，又有解决问题2之后的反思与变式，以积淀等量传递的经验和加深对问题的认识。在“回顾与思考”的教学中，既有回顾研究内容，又有回顾研究方法，还有学生谈收获或体会，以再认本节课的研究内容与研究方法及所蕴含的基本数学经验。

大部分教师都觉得，该课程和定理教学要求相符合，将学生放在课堂的中心位置上，实现了过程和结果之间的良好统筹，能实现“能陈述并会用图形和符号表示相似三角形判定定理3，能感悟证明

定理的思想方法及积淀用两组比例线段来传递边的相等关系的经验;会用相似三角形判定定理与性质解决有关几何问题”的教学目标。因此，一般地，定理教学要经历“提出问题（从具体问题或特殊问题出发）→操作观察（通过画图、实验、计算等，观察事物间的关系）→归纳猜想（由特殊猜想一般——归纳，由此及彼或触类旁通——类比）→验证或证明（简单说理，举反例，演绎证明）→多样表达（口头、数学文字、数学符号表达）→解决问题（解决数学内部与外部问题）→反思内化（感悟研究过程和所蕴含的数学思想及积淀数学活动经验）”的过程，保障数学活动的顺利展开，让学生拥有足够的自主探究机会，让他们参与到合作沟通活动当中，将教师在具体课堂活动当中的主导性作用充分发挥出来。教师也需要加强对学生的评价，让他们主动投入到课堂活动当中，增强他们对定理方面的认知，保障其“深度”以及“宽度”，让学生可以提出某些数学问题，并且参与到独立思考以及探究当中，提升他们的质疑水平与表达能力。

根据具体的授课活动分析，在当前的定理教育教学过程当中，教师应保障技能、知识与态度之间的统一。要求教师提升定理思维的主动性，不断指引学生提高数学思维与逻辑思维。将“最近发展区”相关的题材内容当做是重要的载体，由学生掌握的知识点以及实际经验着手，经过教师的价值指引，和学生学习之间有效整合起来，让他们掌握更多的数学知识点与技能，这对他们的可持续发展而言十分重要。例如，在课程实际授课的时候，教师需要保障自身设置问题的定向指导性，需要将适度开放的原则落实在实处。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]范良火.义务教育教科书·数学（九年级上册）[M].杭州：浙江教育出版社，2014.