数学中构造法探究

2020-09-10岑强王宇欣

天府数学 2020年3期

岑强王宇欣

摘要：数学一直以来都是一门重要的学科。要学好数学，掌握大量的數学方法必不可少。构造法是一种重要的数学研究方法。在碰到一些用常规思路解不出来的题目之时，往往可以利用构造法求解相关题目。一般地，我们可以从题目中给出的条件和结论进行研究，如果能找到一种新思路新观点去看待问题，就能够以一种新的角度去分析和理解对象，进而寻找出问题的条件与结论俩者之间的联系所在。构造法是一种“非常规”的解题方法，但有时能够更容易地解决问题。

关键词：构造法;实例研究;数学思想

一、绪论

（一）什么是构造法

构造法是一种用来解决一些较为困难的数学问题的常见方法。我们应当从一个新的角度观察、分析和理解一个对象。在这个过程中，要根据问题的特征和属性，设置条件和结论;牢牢把握条件和结论之间的内在联系，使用数据的特征、形状以及问题的坐标等;以问题中已知的条件为基础，以已知的数学关系和理论为工具[1]。因为构建出来的数学对象必须构造满足给定的条件或结论，这样原问题所隐含的关系和属性就能够清楚地由该对象揭示，解决问题的方法也就清晰可见。

（二）问题提出的背景与研究现状

1、背景

19世纪末，克罗内克和庞加莱基于数学的可信性，提出了“存在，必须是被构造的”这一观点，创立了早期的直观数学学派。但是他们把直观数学推崇到极致，反对一切非构造性的数学内容，搞得数学复杂难懂。随后，马尔科夫提出一种观点，即一切数学概念都可以归结为一个基本概念——算法的构造性方法[2]。但是算法数学以递归函数为基础，同样难以理解。直到1867年，美国数学家比肖博发表构造性分析艺术，摆脱了算法以及数学对递归函数的依赖，宣告现代构造数学的形成。现在，构造法不仅在组合数学、计算机科学等新领域举足轻重，在数值分析、拓扑学等领域也至关重要。

在我国古代数学发展史上，有非常多的具有代表性的构造性算法.例如正负术算法，其对应的成果是引入负数及其运算法则;例如开方术算法，其对应的成果是开平法;例如《九章算术》中的约分术算法[3]，其对应的成果是求两数最大公约数;例如还有割圆术算法，其对应的成果是引入极限概念.例如还有朱世杰所提出的四元术;例如方程术算法，其对应的成果则是线性方程组的“矩阵”求解;以及秦九部提出的大衍求术算法[4]和《孙子算经》里所提到的“物不知数”术算法等等;

2、现状

现阶段对于数学构造法的研究，主要有以下三大方面：第一方面是将数学构造法作为数学基本思想方法，从而进行数学构造法的相关理论研究;第二方面则是研究学生在学习数学构造法这一思想方法时所遇到的困难，并给出相应的学习和教学建议;第三则是从侧面来深入挖掘研究构造法，即通过调查研究分析、数据整理，来研究构造法的学习心理及教学实务。

（三）研究方法与目的

1、研究方法

文献分析法：文献分析法即在构思论文内容之前，尝试查找与数学构造方法有关的文献资料，并对与之相关的文献资料进行仔细、认真、合理的筛选整理，并对相关文献资料进行认真的分析及研究[5]。

整理归纳法：整理归纳法即将搜集好的有关数学构造法资料进行系统的分类整理和归纳，同时对与构造法相关的例题进行针对性的整理分类，以便论文书写时能够更好的查看和运用，并要做好例题的深入分析研究。这一种研究方法的优点是能够帮助我收集到大量而有应用价值的文献资料，并且能够有效地筛选出自己想要的文献和资料，使得对数学构造法的分类以及例题的归纳更加有计划性和条理性。

2、研究目的

解决数学问题有许多方法，在数学的实际解题过程中常规的方法可以解决，但操作起来非常繁琐容易出错甚至有时解决不了。构造法是指当解决数学问题使用通常方法按照定向思维难以解决问题时，应根据题设条件和结论的特征，性质，从新的角度，用新的观点去观察，分析，理解对象，抓住反映问题的条件与结论之间的内在联系。构造法是一种不那么常规但是也许会更容易解决问题的方法，这种方法在解决某一类不等式的问题中效率更高并且容易了解未知问题与已知知识之间的联系，从而进行对比。在构造的过程中既是对已知知识的更深了解，也是对未知知识的探究，并且还可以培养思维的敏捷性和创造性。

（四）构造法的理论依据及原则

1、理论依据

构造法体现于数学的方方面面。其理论依据可以追溯到波利亚的解题思想及数学解题表、弗赖登塔尔的数学教育理论（即数学化思想）、皮亚杰的建构主义学习理论（即学习的发生认识论）。此外，构造法本身与数学美有着紧密联系。

2、构造原则

著名数学家波利亚曾经指出：“掌握数学意味着什么？就是意味着善于解题，我们不仅要善于解一般标准的题，而且还要善于解要求我们独立思考、思路合理、见到独特和有发现创造意义的题”。由此可见，数学解题对数学学习的意义是非常重要的。我们在解决具体的数学问题时运用数学构造法要遵循一定的原则。

（1）相似性原则

相似性原则是指在我们在解决实际的数学问题时，通过认真观察所要解决数学问题中的条件和结论特征、分析思考条件与结论之间的内在联系，然后尝试与我们己经解决过的问题、熟知的公式及函数等建立联系。最后根据数学中的基本对象构造出恰当的数学模型，从而间接的解决原问题。

（2）直观性原则

直观性原则是指根据问题的结构，通过对原问题中条件和结论的观察分析，直接构造某种与原问题类似的数学形式或模型，从而使原问题中的条件和结论之间的数学关系清晰体现出来，进而解决问题[6]。

（3）等价性原则

等价性原则是指将原问题中的条件转换为一种与之等价的新形式，使得原问题中的条件和结论在所构造的新条件下进行解答。此时我们构造的问题与原问题本质上是等价的，所以解决了该问题也就解决了原问题。

二、大学阶段构造法的实例研究

（一）构造函数在微分学中的应用

在微分学中，构造函数法有着许多的经典的方法和技巧。我们可以从多种角度来构造新函数，比如从问题的结论及特点来构造一个新函数，然后利用该函数来解决新问题。一个典型的例子是拉格朗日中值定理的证明[7]。

例题2.1

证明拉格朗日中值定理，若函数满足下列条件：（1）在闭区间连续，（2）在开区间可导;则在开区间内至少存在一点，使得

分析：由定理的结论出发，得结论与罗尔定理的结论很像。所以若有

则满足罗尔定理。这时想到构造新的函数，考虑在上满足罗尔定理。

（二）构造数列在求极限中的应用

构造数列，利用其性质和敛散性，将问题进行转化。下面以一道求极限的问题为例进行探讨。

（三）构造级数判断已知函数项级数

判别法是判别函数项级数一致收敛时经常使用的一种方法，在使用判别法时，需要根据已知函数项级数来构造出收敛的正项级数，对问题进行转化。

但因为不存在，所以函数在点不连续。

（五）构造不等式

构造不等式的目的是为了利用不等式的性质解决问题，下面我们用一个实例来说明这点。

若数项级数收敛，则数项级数绝对收敛。

证明：构造不等式：因为数项级数收敛，数项级数收敛所以收敛，根据比较法知：收敛。

三、研究结论

在解决实际数学问题的过程中，我们通常不能直接地利用原问题中的条件或者结论直接解决问题，否则往往会导致解题步骤较多、解题程序繁琐，从而容易出错[8]。此时，我们可以选择新的解题思路及途径，构造与原问题中的条件和结论相关的数学对象或者数学模型来帮助我们解决问题。这样可以简化解题过程，提高解题准确率[9]。在使用数学构造法时，要通过对问题中的条件进行一系列的分析、变形、推导和演绎，才能找到正确、合理的解题方法和思路。因此，在解题过程中，我们会经常用到数学构造法[10]。

（一）数学构造法解决实际问题的优点

1、运用数学构造法解题可以帮助我们优化解题的途径

我们在解决问题的过程中往往会遇到一些用一般的解题方法无法快速解决的难题。利用数学构造法，可以化繁为简，帮助我们理清解题的思路和方法，从而帮助我们优化解题的途径[11]。

2、数学构造法可以从侧面揭露出原问题中的隐含条件

题目中往往会隱含一些条件，而这些隐含的条件一定程度上会影响我们解题的思路，甚至直接决定着我们是否能够解决问题。使用数学构造法解题能够帮助我们发现并分析题目中的隐含条件，使得原问题中的条件和结论更加的清晰简单，进而可以快速、正确的解决问题[12]。

3、数学构造法可以沟通原问题中的条件和结论

在问题的实际解决过程中，很多数学问题我们只分析己知条件是很难求解的，我们需要按照一定的目标和方向，根据数学构造法所构造的数学对象，在原问题的条件和结论之间架起一座桥梁，理清原问题中条件和结论之间的内在联系。只有这样，我们才能根据原问题中的结论和条件对问题进行详细分析，并利用我们分析推理出的推导逻辑关系解决原问题[13]。

4、数学构造法可以帮助我们转化、融合数学知识

我们在解决一些数学综合问题时，常常需要我们将原问题中的代数问题转化为几何问题，或是要求我们采用数学构造法构造函数来求解几何问题：例如求解问题中的线段最长、最短值问题，求参数的取值范围的问题等等[14]。我们在运用数学构造法解决这些实际问题的过程中能够促使数学知识之间的相互联系和内化，使得数学知识之间可以互相转化，从而使得我们学习数学知识时更加全面和系统。

（二）数学构造法解题步骤

首先，对原问题进行仔细的观察和分析，思考原问题要求我们解决的问题;其次，根据原问题中要我们求解的问题，认真分析题干中的条件，在题目中标记出关键条件，并思考分析原问题中的条件与问题的内在联系，寻找解题的突破口;再次，将我们学过的知识与原问题中所给的条件紧密结合起来，再利用数学构造法中的多种模型，思考是否有数学对象与原问题中的条件和结论相关，然后根据具体的分析和尝试构造出具体的数学形式或对象[15];最后，我们要根据所构造的数学对象，结合原问题中的具体问题及情境，对条件及结论进行仔细的推敲，进而理清解题思路，解决问题。

参考文献：

[1]彭璋甫，彭革编著.初等数学构造法及其应用[M].广州：中山大学出版社.2016.

[2]高中数学构造法解题的研究与实践[M].中国农业出版社.2019.

[3]余红兵，严镇军编著.构造法解题[M].合肥：中国科学技术大学出版社.2009.

[4]叶立军主编.数学方法论[M].杭州：浙江大学出版社.2008.

[5]潘琦，路线.构造法在数学分析中的应用.吉林工程技术师范学院学报，JournalofJilinTeachersIns-

tituteofEngineeringandTechnology2017，33（5）.

[6]陈泓熹.构造法在高中数学解题中运用的分析及研究.数学学习与研究：教研版，2018， 000（003）.

[7]王迎.浅谈数学分析中辅助函数的构造.科教文汇，TheScienceEducationArticleCultures2019，（5）.

[8]王雪明，宋娜.构造法在离散数学及数值分析解题中的应用.企业导报，GuideToBusiness2014，（13）.

[9]杨勇.浅谈数学分析中的构造法.科学咨询， ScientificConsult2012，（18）.

[10]唐秋林，吴美云.数学分析中构造辅助函数的几种方法.数学学习与研究， 2012，（017）.