思维导图在高中数学应用题教学中的探究

胡党琴

摘 要：运用数学解决实际问题是学习数学的中终极目标。因此，高中数学教学应培养学生的运用意识，利用数学作为工具解决实际问题。本文主要从数学模型与思维导图相结合江苏高考应用题的解题策略。

关键词：应用题教学;数学模型;思维导图

应用题在高考占据着重要的地位，其主要考察高中生数学核心素养中数学建模素养，也是运用数学知识解决实际问题的集中体现。应用题的设置以贴近生活为背景，以数学建模为手段，以解决问题为目的的考察形式。有利于优化学生的思维品质，促进学生数学核心素养的形成，增强学生对数学的理解与应用，提高学生解决实际问题的能力。

然而学生在应用题的得分率并不是很高，究其原因是学生往往不会把实际问题转化为抽象的数学思维，更不能利用数学思维建立数学模型，从而导致问题不能解决，在这一过程中，学生对信息的分析，提取，加工，转化等环节出现一点偏差，都会导致得分下降。原因是应用题解题主要从信息的提取，加工，数学模型的建立以及模型的求解。其中模型的建立是联系数学与实际应用的关键，数学模型在解题过程中是一种承上启下的作用，模型未建立前所有的信息只想实际问题，模型建立之后，便将问题转化为数学问题，以数学知识为工具解决相应的问题。

这里主要以江苏高考应用题为例，以思维导图为辅助，以帮助学生理清解决应用题的逻辑思维，以数学建模的思想解决实际问题。从而使学生对应用题有个更为深刻的认识。

例1（2019江苏高考）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）.规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA.规划要求：线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位：百米）.

（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长;

（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由;

（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离.

（1）思路：如上图所示：求出PB的长，应该首先联想到P点的位置，通过题中所给图形，可以做出PB线段的草图，再从题目中提取有关对PB描述的信息。在做完图完成后，可转化成在△PBC中，有关线段的求解的数学模型，借助于解三角形的知识即可求出结果。（2）思路：如上图所示：在第（1）问中对信息的提取与加工，这一问只需要构建数学模型解决问题，通过上图的流程，可以看出：将问题转化成点到线的距离，借助于几何知识或者解析几何知识即可求出，最后做出比较，得出结果。

思路：如上图所示：d最小，求PQ的长.在图形中应该先找P的位置，Q的位置是受P的影响，所以找完P的位置后，再找Q的位置，利用解三角形数学知识即可解决，从而解出结果。

例2（2018江苏高考）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN（P为此圆弧的中点）和线段MN构成.已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上.设OC与MN所成的角为θ.

（1）用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sinθ的取值范围;

（2）若大棚Ⅰ內种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：3.求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.

思路：借助于思维导图帮助学生对题目的理解：（如下思维导图所示：）

借助于思维导图，可以让学生理清解题思路，按照思维导图的流程图的形式进行操作，使得学生突破数学模型的建立的难关，将冗长的应用题题目进行碎片式切割，使得学生能够迅速的提取有用的信息，是解决应用题的有效途径。思维导图的导入既可以提高学生分析问题的能力，也可以提高学生解决问题的能力，从而提高学生的数学核心素养，对所学的数学知识有较为透彻的理解与认知，真正达到学以致用的效果。

参考文献

[1]郑力敏.浅析“思维导图”在高中数学教学中的应用[J].学周刊，2019（23）：83.

[2]张慧芳.浅析高中数学应用题教学中对学生解题思路的培养[J].中国校外教育，2019（24）：127.