近代数学的兴起

艺术家是文艺复兴时期数学发展的“先锋”，他们基于艺术创作的实践需要，对数学也有些独到的见解，但这还不能算是数学的复兴.直到16世纪，数学才开始在欧洲复兴，近代数学从此开始了空前的蓬勃发展.此时的欧洲人就像古希腊人一样，充满了对理性的崇尚和对大自然的好奇，并再次将数学和哲学紧密联系起来.不同的是，古希腊的数学成就都集中在几何学上，而近代数学的复兴和崛起则始于代数学.同时，欧几里得几何公理化的思想被延续了下来.

代数学的发展，开始于解一元二次方程，印度的婆罗摩笈多最早给出了一元二次方程[x2+px+q=0]的一个根的求根公式;花拉子密最先意识到二次方程有两个根的问题，他第一次给出了一元二次方程的一般解法，承认方程有两个根以及有无理根的存在，只是他舍弃了负根和零根，并把方程的未知数叫作“根”.古希腊数学家丢番图把二次方程分为以下6种不同的形式：令[a、b、c]为正数，[ax2=bx、ax2=c，ax2+c=bx，ax2+bx=c、ax2=bx+c、ax2+bx+c=0]，并分别讨论它们的根的情况.花拉子密是阿拉伯帝国时期伟大的数学家，他的著作《代数学》被译成了拉丁文，在欧洲广为流传，并长时间用作教材. 在这之前，欧洲在代数学方面并没有多少成果.但在文艺复兴时期，有了翻译和传播的途径，以及以斐波那契为代表的东西方数学文化的交流，代数学走进了欧洲人的视野.

16世紀代数学的主要成就是三次和四次代数方程的求解以及代数的符号化.当时关于三次和四次代数方程的求解问题，是数学研究者们在那个时代面临的最大挑战.而意大利数学家塔尔塔利亚和数学爱好者卡尔达诺（本职是医生）对这类问题的解答，拉开了近代数学兴起的大幕.

塔尔塔利亚给出了没有一次项或二次项的两类三次方程的解.塔尔塔利亚所解的方程是[x3+mx2=n ，x3+mx=n ，m ，n>0 ，]他给出的解法是，首先化简恒等式[（a-b）3+3ab（a-b）=a3-b3]，选择恰当的[a、b]，使得[3ab=m ，a3-b3=n ，]求出上述方程中的[a、b]后，[a-b]就是方程[x3+mx=n]的解.而方程组的解为 [±n2+（n2）2+（m3）33].该式被命名为卡尔达诺公式.

塔尔塔利亚与卡尔达诺通过研究、讨论，得出了三次方程的解法.几年后，卡尔达诺出版了《大术》，他在书中说明了该解法来自塔尔塔利亚.卡尔达诺在《大术》中，补充了[m<0]的情形，并给出了完整的解答过程.对于缺少一次项的情况，他给出了变换方法，使方程转化为上述情形.《大术》还收录了四次代数方程的一般解法：把四次方程转化为三次方程，然后再解三次方程.只是该解法同样不是由卡尔达诺给出的，而是由他的仆人费劳里给出的，费劳里是首位破解四次方程的数学家.

在三次和四次代数方程问题的求解取得一定的进展后，在此后大约250多年的时间里，人们都在努力解决更高次方程解的问题.直至挪威的年轻数学家阿贝尔发表《一元五次方程没有代数一般解》一文，人们才停止了寻求高于四次方程的解析解或根式解的尝试和努力.这个思路也被用到了微分方程上.1841年，法国数学家刘维尔证明了里卡迪方程[dxdy=p（x）y2+q（x）y+r（x）（p（x）≠0）] [，]一般无法通过初等积分法求得通解. 刘维尔的工作促使人们逐渐放弃了求微分方程的通解，转而求微分方程的数值解.

1615年，法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中改进了三、四次方程的解法，并建立了一元二次方程[ax2+bx+c=0]根与系数的关系，也就是韦达定理[x1+x2=-ba，x1x2=ca]和方程根的判别定理.更为重要的是，韦达从丢番图的著作中获得灵感，首次引进了系统的代数符号，数学符号的引入，带来了代数理论研究的重大进步，韦达也因此被称为“现代代数符号之父”.