如何解答排列与组合问题

田娟

排列与组合问题是高中数学中的常见问题，由于一个事件中可能出现的情况较多，所以我们采用不同的排列组合方式进行排列，得到的结果也不相同，因此，我们只有找到正确的解题方法，才能得出正确的答案，下面，我们谈一谈如何解答排列组合问题。

一、倍缩法

倍缩法适用于定序问题，在运用倍缩法解答定序问题时，我们可先不考虑元素顺序的限制，直接进行排列，再除以定序元素的全排列数，在解答的过程中，我们要首先判断该事件是否是定序问题，然后再利用倍缩法解题。

例1.有7名同学要排成一列照相，其中甲必须站在乙的左边，乙必须站在丙的左边，按照这种要求可以得到__种排列方法。

解析：很明显，题中对元素的排列顺序有要求，这是一个定序问题，我们可以考虑利用倍缩法来解题。

例2.从10个人中挑选出8个人围坐成一桌，则会有

种不同的坐法。

解析：该问题属于中档难度的问题，由于桌子是环形的，所以在排列的过程会有顺序要求，可以运用倍缩法解题，首先考虑从10个人挑选8个人的情况，再对8个人围桌而坐的情况进行分析。

倍缩法的应用范围很广，不仅适用于环形排列问题，还适用于定序问题。

二、捆绑法

捆绑法是指把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列的方法，捆绑法适用于相邻问题，在运用捆绑法解题时，我们要注意先排列相邻元素外部的元素，然后再排列相邻元素内部的元素。

例3.有6位同学站成一排，甲、乙、丙3名同学要求站在一起，请问有多少种排法？

解析：甲、乙、丙3名同学要求站在一起，说明这是一个相邻问题，可以选择捆绑法来解题，我们首先要将甲乙丙3名同学看作一个整体，与剩下的3名同学一起排列，然后再对甲乙丙3名同学进行排列。

解：把甲乙丙看作“整体”时，和剩下3名同学一起排列，有A4种排法，甲、乙、丙3名同学有A3种排法，根据乘法计数原理可得一共有A4A3，即144种排法。

三、插空法

对于不相邻问题，我们一般选择运用插空法来解题，在运用插空法解题时，我们首先要考虑不受限制的元素的排列，再将不相鄰的元素插在前面元素排列的间隔中。

例4.学校的元旦晚会中有4个舞蹈节目、3个歌唱节目和3个小品节目，为了合理安排节目，学校决定不把小品节目放在一起，那么该晚会的节目安排会有

种不同的排法。

解析：题目中要求不把小品节目放在一起，这就是要求小品节目不相邻，可利用插空法来解题，先需要排列除小品以外的节目，然后再将小品插入到其它节目的间隔当中。

解：除小品以外的7个节目进行排列，则有A7种不同的排法。

将3个小品节目插入7个节目之间的间隔，则有c8种不同的排法，因此一共有A7C8种不同的排法，即282240种不同的排法。

虽然排列与组合问题在高考中占比不大，但题目也存在一定难度，它不仅考查了我们运用排列组合知识解题的能力，还考查了我们分析问题的能力，解答排列与组合问题的关键在于，根据题意判断问题的类型，然后选择对应的方法解题。

（作者单位：甘肃省天水市武山县第一高级中学）