从特殊到一般 从定点到动点

摘 要：坐标平面内的三角形面积计算往往需要化归为水平或铅垂方向的三角形，如何构图，是需要教师引导学生突破的难点，动点问题更是要关注“不变”和“变”，找到变化图形中不变的量.

关键词：转化思想;水平底（高）;铅垂高（底）

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2020）14-0004-02

收稿日期：2020-02-15

作者简介：章亚娣（1978.2-），女，浙江省上虞人，本科，中学一级教师，从事数学教学研究.

坐标系内含有动点的图形面积问题，是中考题中非常常见的类型.这类题目的核心知识是坐标系中三角形面积计算，学生对于这类题目的求解往往会熟记一种方法，但是把握不到问题解决的关键点，往往动点位置一换，就处于“束手无策”状态，而教师在平时教学中，也经常流离于问题解决的“本质”，就题论题.为此，笔者有意进行了课堂探究和实践.

一、目标定位

1.经历从在平面直角坐标系特殊位置的三角形面积计算到一般位置三角形面积计算过程，讨论分析如何将一般位置三角形面积化归为特殊位置三角形面积计算，发展学生数学直观、数学概括和归纳能力.

2.探索在坐标系中三角形有一个顶点在不同函数图象上运动时，三角形面积的变化规律，体会以不变应万变的辩证思想在问题解决中的应用.

二、教学设计及实践

1.从特殊位置的三角形面积引入新课

新课开始，教师先给出两个特殊位置的三角形，要求学生口答三角形面积.

练习1 如图1和图2，口答△ABC的面积.

问题1 你是怎么求两个三角形面积的？

问题2 这两个三角形有什么共同特点？

2.探究一般位置三角形面积计算

练习2 当三角形没有一条边和坐标轴平行如图3，点A、B、C的坐标如图所示，请同学们用尽可能多的方法求△ABC的面积.

给学生充足的时间来研究一般位置三角形面积计算，等每个学生基本上有三、四种方法以后，分别请同学们上来分享交流.要求每个学生都在学案上画图，写解题思路，教师通过实物投影展示，在学生展示以后，教师追问.

问题3 为什么这样添线？目的是什么？

问题4 为什么补成矩形就可以求了？问题关键点在哪里？

问题5 矩形和其他三角形位置特殊在哪里？

每一个学生交流以后，教师都追问这三个问题，强化对于一般位置三角形面积计算的关键是转化成水平底（铅垂底）和高的三角形从而求解.在课堂实践过程中，学生后续还出现了十多种方法.

设计意图和实践效果：从特殊到一般，学生经历困惑，在交流过程中发现部分学生“知其然，不知其所以然”，通过问题的追加，不断重复为什么这样添线，目的是转化三角形的底和高，使得三角形的底和高能够与坐标轴平行，这样可以利用三角形面积公式求解.在计算三角形面积过程中同时复习了一次函数求解析式，求点坐标等知识，并在思维碰撞中不断创新，学生们发掘出了以上15中转化方式.这个时候教师及时总结归纳，理解核心——坐标平面内一般位置三角形面积计算需要转化成特殊位置三角形：水平底（高）和铅垂高（底），转化方法有：补成三角形（或四边形）然后减、分割成两个三角形然后加或者利用平行线等积转换，把一般三角形面积转化成水平底（高）或者铅垂高（底）的三角形.

3.从定点到动点，理解不变

基于学生有了计算面积的经验，找到了转化一般三角形面积计算的方法，学生们对于三角形面积计算有了更高的学习积极性和求知欲，教师及时抛出问题3.

练习3 如图8已知△ABC在平面直角坐标中位置为A（0，2） ，B（4，0），C（2，a），思考：

（1）你能用含有a的代数式表示△ABC的面积吗？

（2）当三角形面积为8时，你能求出点C的坐标吗？

在教师：“有动点，先画图”的引导下，多数孩子能够画出图形，并用割、补或平行线等积转化中一种方法来解决问题（如图9）.

问题5 对比练习2，你能发现点C在运动过程中有哪些不变的图形或数量关系？

问题6 △ABC的面积大小取决与哪个量？

问题7 用点C的纵坐标来表示△ABC的面积的方法有哪些？

问题8 怎么割补或转化呢？

问题9 由此可知，解决动点问题的关键是什么？

设计意图：问题8设计意在通过对比动点和定点的图形，找到它们之间的联系，问题9的设置促使学生回顾问题解决得思考过程，突出解决动点问题的关键是找到不变的量，找到转化面积问题的方法从而“构造”出水平方面或铅垂方向的三角形，从而得到面积计算的方法.

4.拓展升华

在归纳出定点问题转化的关键之后，教师给出综合背景的练习，以促使学生进一步巩固理解所学的知识.

练习4 已知如图10抛物线y=-1/2x+3/2x+2经过点A（0，2） ，B（4，0），D（-1，0），点C为抛物线在第一象限的一个动点;

（1）若点C为抛物线在第一象限的一个动点，求△ABC面积的最大值.

（2）当△ABC为面积为3时，求点C的坐标.

设计意图：从点在直线上动，到点在抛物线上动，三角形图形变化情况更加复杂了，如何去伪存真的找到解决问题的关键，是设置练习4的用意.经历了定点的三角面积计算，到点在直线上动，最后落脚于点在抛物线上动，来拓展和巩固坐标平面内三角形面积计算，让学生体会从特殊到一般，再把一般转化成特殊，整堂课的设计水到渠成.

三、教学反思

1.遵循学生认知规律 螺旋上升安排教学内容

章建跃博士在《核心素养统领下的数学教学变革》中写道：“数学学科核心素养的关键点是要从数学知识发生发展过程的合理性、学生思维过程的合理性上加强思考.”所以根据学生认知规律，螺旋上升的安排教学过程，反复多次渗透数学思想方法，让学生在解题的时候经历这个逻辑过程，促使学生学会思考， 重视培养学生自主探究，发现问题，解决问题的能力，这样才能真正达到“数学育人”核心素养目标.

2.基于活动体验 类比归纳体验成功

数学知识的获得是学生主动参与，积极探究的过程，因为设计一系列有助于学生探究的活动设计是不可少的，本节课切入点小，从特殊位置三角形面积求解引入，采用启发探究，从特殊到一般，先归纳再推理. 从定点到动点，学生在观察，对比，总结，应用中悟出动点问题一般方法，以不变应万变.

3.教学设计把握“度”，学生活动把握“悟”

教学之道在于“度”，问题的设计需要恰时，恰点、直接要害的反映本质，简明易懂的问题容易引发学生思考和讨论.很多数学问题静态问题中，往往可以从多种角度找到解决问题的多种方法，可以说是“条条大路通罗马”.但是一题虽然多解，多解的方法中也有不变思想方法，教师要通过一系列问题设计，引导学生思考问题本质.

参考文献：

[1]苏建强.说题让课堂教学更加有效[J].教学月刊（中学版），2012（02）：35-38.

[2]中华人民共和国教育部，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.义务教育课程标准实验教材教科书·数学（八年级上册）[M].北京：人民教育出版社，2017.

[責任编辑：李 璟]