一个函数不等式恒成立问题的两种解法

曹彬

摘 要：函数是每年高考的必考内容，函数题常常是高考试卷上的压轴题之一.恒成立问题是函数题的常见题型，恒成立问题最终都转化成函数最值问题，但是当函数解析式相对复杂时，转化过程相当繁琐.本文根据高考考试大纲要求，指出在高考复习阶段，如何利用常规方法和高等数学知识解出函数不等式恒成立问题的参数取值范围.

关键词：高考复习;函数不等式恒成立问题;洛必达法则

中图分类号：G632      文献标识码：A      文章编号：1008-0333（2020）16-0049-02

函数作为高中数学知识体系的核心，是历年高考的热点，函数题常常作为高考压轴题出现.以研究函数性质为主要解题手段的不等式称为函数不等式，函数不等式恒成立问题是高考函数题中的重点，在高考试卷上较为常见.通常以一次函数、二次函数、三角函数、指数与对数函数为载体，考察函数的图象与性质，渗透换元、转化与化归、数形结合、函数与方程等思想方法，考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创新性，发展学生数学核心素养起到积极的作用.

函数不等式恒成立问题都要转化为函数最值问题，但对于解析式较复杂的函数，学生普遍感到难以找到解决问题的切入点和突破口.本文旨在介绍洛必达法则应用的同时，多种解法求一类特殊函数不等式恒成立问题中参数取值范围.

一、问题的提出

评析 这是最容易找到入手点的解法，但在最后阶段却出现疑惑，因为在x=1处的函数值不能直接解出，所以要用洛必达法则求极限值.

运用上述两种解法，可解决如下同类型题：已知函数f（x）=（1-x2）ex，当x≥0时，都有f（x）≤ax+1恒成立，求a的取值范围.

函数题的得分率历来不高，学生普遍感到困难，分析有如下原因：需要对证明的等式或者不等式进行变形，此过程需要技巧，经验性很高，学生一般很难掌握;含有参数的问题需要分类讨论，讨论的类别较多，运算量大还容易遗漏;对研究的函数不能画出图象，难以构造出直观模型辅助思考;很多函数题需要多次求导.

所以，如果用高中知识解答高考函数题，对学生的思考灵活性、思维严密性、表达逻辑性等方面的要求较高，难度较大.

参考文献：

[1]吴贤盛.不等式恒成立，参数值妙求解——2019年全国卷Ⅰ文第20题[J].中学数学，2019（23）：69-70.

[2]张智云.浅析含参数不等式恒成立问题的求解策略[J].數学学习与研究，2019（22）：114.

[责任编辑：李 璟]