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高中数学解题方法及技巧探究

2020-09-10马长青

数理化解题研究·综合版 2020年6期
关键词:解题方法解题技巧高中

马长青

摘 要:新课改视域下,高中数学教师重视培养学生思考能力和解题能力,这对高中生全面发展、数学教学工作优质开展有积极影响.现下,高中数学知识点较复杂,这在一定程度上对数学解题技巧及方法提出了较高要求.要想准确、快速求解,并获得理想的数学成绩,应深入探究数学解题技巧及实用性方法.希望该论题能为高中数学教师在解题方面提供思路,进而实现个性化人才培养、素质教育改革深化的目标.

关键词:高中;数学;解题方法;解题技巧

高中数学学科的理论性较强,对于高中生来讲,应不断提升自身逻辑思维能力,以便灵活解答各类题型,进而顺利完成高中阶段教与学目标.要想真正锻炼数学综合能力,结合数学学习实际探索解题方法及技巧是极为必要的.下面笔者结合相关理论及数学实例予以探究,探究内容如下.

一、高中数学题难点分析

受应试教育理念影响,高中师生的独立思考能力逐渐弱化.然而,数学题的出题思维日益新颖化,对于解题者来说,应灵活运用数学知识点,并结合自身情况,探索适合的解题技巧.下文从学生角度和教师角度分析数学难题.

1.学生方面

部分高中生运用初中阶段的定势思维来解答问题,实则,问题解答环节存在重重阻力,长此以往,只有极个别高中生能够迎难而上,这对学生解题自信心树立、解题效率提高有不利影响.究其原因,初、高中数学的解题思维存在差异,相对来说,高中数学题的解答注重知识点的综合运用,且答题者的灵活思维能力被提出了较高要求.若高中生未能意识到这一点,极易遇到解题阻力.

2.教师方面

高中教师以集体授课方式传授数学知识,实际教学中,教师既要备学情,又要备教材,加之,高中教学时间紧凑、教学任务繁重,大多数教师为完成上级规定的教学任务,往往以题海战术的方式锻炼学生答题能力.殊不知,这对数学教师教学能力提升、钻研意识培养有不利影响,最为关键的是,数学教师的审题水平及引导能力会逐渐降低.

二、高中数学审题技巧

数学题解答的前提,是认真审题,基于审题环节获知显性条件和隐性条件,这在一定程度上影响解题速度和求解准确性.下文通过理论与实例结合的方式分析审题技巧,以便为高中生提供思路.

1.题干条件分析

题干信息内容为数学题解答提供方向,要想顺利完成解题目标,解题主体应全面掌握已知条件、细致分析潜在条件,必要情况下,通过条件转换来简化解题程序,进而在短时间内准确求解.

例如,已知m2+(t-2)m+t-1=0的两个根为m1和m2,而点M(m1,m2)在圆m2+q2=4上,求t值.

题干分析 阅读题干获知已知信息,因M在圆m2+q2=4上,意味着M坐标适用于圆m2+q2=4这一方程;m1和m2为方程两个根,言外之意,m21+(t-2)m1+t-1=0,m22+(t-2)m2+t-1=0.基于显性条件无法求解,要想实现求解目标,应深层次挖掘隐性条件.

2.关联性分析

纵使获知题干显性条件,但求解过程仍存在一定阻力,在此期间,应针对已知条件和求解目标关联式分析,以期获得解题关键点.需注意的是,解题主体应具备推理意识和反思意识,同时,借助草图勾勒、运算分析等方法探索解题突破口,使复杂问题简单化.

仍以上述例题为例,已知m2+(t-2)m+t-1=0为一元二次方程式,关联式分析时,引入抛物线f(m)=m2+(t-2)m+t-1,方程两根m1、m2即抛物线与横轴交点,分别为(m1,0)和(m2,0).基于抛物线的性质,(m1,0)和(m2,0)呈轴对称分布,获知m1+m2=2-t,基于上述已知条件,能够顺势求解.

3.梳理解题思路

数学题解答的过程中,高中生应分析题干条件、求解目标等内容间的联系,实则,即数学定理、定义、性质在其中灵活运用的过程.对此,应梳理解题思路,将理论内容与求解要素相匹配,以便实现多条件求解目标.

如上述例题所示,在解题思路的正确引导下,逐步获知m21+(t-2)m1+t-1=0、m22+(t-2)m2+t-1=0、m1+m2=2-t等条件,最后通过三元二次方程组求得t值.

同一数学题的解题方法有多种,但解题的前提,即掌握审题技巧,这能为后期数学题顺利解答助力.下文详尽分析数学题解答的有效方法,希望能为高中生提供帮助.

三、高中数学解题方法

1.转化法

转化法又被称为转换法,通过转变数学思维、拓展题干分析思路来获知解题对策.该方法实践的过程,即复杂知识点简单化、抽象知识点具体化的过程.对于解题主体——高中生来说,能够树立解题自信心,并从中感受解题乐趣,最终数学题能够顺利解答.

例如,函数H=Bx2-x-B(B>0,B≠1)有两个零点,求B取值范围.

解析 数学解题思想转变后,可知解题切入点为零点定义、区间、意义等.应用转化法将这一函数分解成两个函数,即H=Bx2(B>0,B≠1);H=x+B.画图可知,两函数的交点数量为一个,对应的区间即01,这符合题干立意.

又如,3m+4n+P=0和(m=1+cosθ,n=-2+sinθ),二者无公共点,求参数P取值范围.

解析 根据题干信息进行问题转换,即4sinθ+3cosθ=5-P,由于直线与圆无交點,且15≤4sinθ+3cosθ≤5,求得,P>10或P<0.

2.反证法

反证法在数学题解答中较常用,即在逆向思维的辅助下推理式分析,最终证实结论与数学定理、定义相背离,间接得知原始命题的合理性.对于大多数学生来说,惯用正向思维来求解,实际上,正向推理分析法并不适用于所有数学题的求解,相反,反向推理分析法能够挖掘潜条件,进而实现求解目的.

例如,某高校二年级630人,针对每位学生的课余时间利用情况调查分析,通过抽取年级段30%学生予以调查.其中,显性条件即年级人数和百分比,得知,调查学生数量为189人.若命题不成立,需假设推理,直到获知与原题存在出入之处,凭借对比依据来求解.

又如,已知A≠0,证方程Ax=B仅一个根.

解析 应用反证法对其阐述,假设Ax+B=0(A≠0)根数量最少为两个,设根分别为P和Q,且P≠Q,故而,AP=B,AQ=B,AP=AQ,即A(P-Q)=0.由于P≠Q,意味着P-Q≠0,等式成立的前提条件,即A=0,这与题干A≠0这一条件相矛盾,即假设不成立,因此,Ax=B仅一个根.

3.换元法

高中数学题多以整式形式呈现,如果学生仅从整式入手,这不仅会浪费解题时间,且求解结果的准确性得不到保证.解答此类数学题时,运用换元法来求解是极为必要的,即通过变量替换来整合表达式,最后通过求解替换变量来实现解题目标.

例如,实数m、n满足4x2-5xy+4y2=5,设K=x2+y2,求代数式1Kmax+1Kmin的值.

解析 为实现整式优化目的,凭借换元法完成K=x2+y2的替换.在此期间,运用三角函数知识辅助求解,因sin2a+cos2a=1,将其替换题干x值和y值,最后通过整式代入求得x=ksina,y=kcosa,最后代入4x2-5xy+4y2=5這一方程,根据三角函数值域-1,1求值.

换元法的解题实用性较强,对此,高中生应掌握换元法应用技巧,以此提高解题效率.这对日后数学知识学习和习题解答能够起到基础铺垫作用,最终保证求解准确性和全面性.

4.讨论法

讨论法在数学题解答中较常用,这一方法应用的过程,即高中生思维能力锻炼、全局意识培养的过程.分类讨论法应用期间,遵循对象确定→拟定分类标准→讨论分析→获知讨论结果.

例如,假设集合M={a∈P|a2+4a=0},集合N={a∈P|a2+2(t+1)a+t2-1=0,t∈P},若集合N包含于集合M,求实数t的范围.

解析 已知集合M={0,-4},且集合N包含于集合M,情况一,当M=N时,N={0,-4},即-2(t+1)=-4,t2-1=0,得出t=1.当N≠M时,N同样分为两种情况,分析如下:

当N=时,Δ=4(t+1)2-4(t2-1)<0,得出t<-1.

当N≠时,即N={0}或者是N={-4}.

当a=0时,t=±1,而当a=-4时,t=7或者是t=1,由于Δ=4(t+1)2-4(t2-1)=0,故而,t=-1.

可知,实数t的取值范围是t=1或者t≤-1.

5.特值法

特值法用于解答高中数学题,既能节省大量的解题时间,又能全面把控求解误差.下文进行实例分析,以期了解特值法的应用价值.

例如,等差数列{an},它的前m项之和等于30,前2m项之和等于100,求前3m项之和.

解析 假设m=1,等差数列的前m项之和、前2m项之和分别为S1=30,S2=100.第一段P1=S1=30,第二段P2=S2-S1=70,段公差D=P2-P1=40,则第三段P3=P2+D=110.那么前3m项之和等于P1+P2+P3=30+70+110=210.

6.排除法

应用排除法进行数学题求解时,往往通过选项排除的方式来寻找正确答案,可见,该方法在选择题型中较常用.

例如,不等式mn2+2mn-4<2n2+4n恒成立,则m的范围是().

解析 当m=2时,则-4<0,这与题目立意一致,故而,A选项和B选项排除.当m=-2时,则(m+1)2≥0,不恒成立,此时排除选项C,最终正确答案为D.

综上所述,高中数学题解答的过程中,应掌握审题技巧,并合理运用解题方法,这既能提高解题效率,又能保证求解的准确性.可见,本文通过理论与实例结合的方式进行论题探究,这能为数学教学者以及高中生提供参考,确保数学解题任务顺利完成.

参考文献:

[1]孙家正.关于高中数学函数解题思路多元化的方法举例探索[J].中国新通信,2017,19(02):135.

[2]夏小又.浅议化归思想在高中数学解题中的运用[J].读与写(教育教学刊),2017(1):128.

[3]张美玲.高中数学解题方法及技巧探究[J].学周刊,2017(2):151-152.

[4]王坤.例谈基于问题解决的高中数学复习[J].数学通报,2017,56(7):46-49.

[5]李清,王菡.元认知策略、解题策略对不同层次学生数学问题解决影响的实证研究[J].教育理论与实践,2017,634(35):41-43.

[责任编辑:李 璟]

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