基于摆线齿锥齿轮加工原理的产形轮方程推导

张墨贵

摘要：分析摆线齿锥齿轮的加工原理，介绍了延伸外摆线齿线及齿形的形成过程，分析机床、刀盘和轮坯的相对位置和运动关系，建立摆线齿锥齿轮切齿啮合坐标系，推导产形轮的齿面方程，可为以后进行摆线齿锥齿轮齿面数学建模提供理论基础。

关键词：摆线齿锥齿轮;加工原理;齿面方程

0  引言

螺旋弧齿锥齿轮对是实现相交轴运动传递的传动装置中重要的基础单元，通常情况，螺旋弧齿锥齿轮根据齿线类型，可以分为弧线齿与摆线齿两类齿制。摆线齿在加工时，切削过程连续分度，切削效率高，分度精度高;在使用时，相比渐缩齿在运转噪声控制、传动平稳性方面有一定的优势，摆线齿已经被广泛应用于航空、航天、航海、汽车和其他精密机械加工的领域，成为螺旋弧齿锥齿轮的一个重要发展方向。摆线齿因其制造技术的复杂性，以及国外企业一直以来技术的严格保密，在我国其技术研究尚處于起步阶段。因此开展摆线齿锥齿轮的轮坯设计与齿面方程的推导，对于摆线齿锥齿轮的技术突破具有重要意义。本文基于克林贝格摆线齿锥齿轮的加工原理，建立切齿啮合坐标系，推导了产形轮的齿面方程，并进行数学建模。

1  摆线齿锥齿轮加工原理

1.1 延伸外摆线齿线的形成

在加工过程中，刀盘相对于摇台轴线的运动，相当于刀盘上半径为r及的滚圆，绕着摇台平面内半径为R的基圆做纯滚动。刀盘上有z0组刀齿，通常分为内刀、外刀，切齿加工过程中，每一把刀走过的轨迹就形成了延伸外摆线，如图1所示。

1.2 摆线齿加工原理

摆线齿弧齿锥齿轮是刀盘绕自身轴线自转的同时又绕产形轮轴线公转的包络下形成的，刀刃上一点在假想平面产形轮的分度平面上形成延伸外摆线，以此延伸外摆线为导线，刀刃沿此导线运动形成齿长方向为延伸外摆线的直纹面，此曲面即是平面齿轮的产形面。如图2所示，Oo是刀盘中心，Op为平面产形齿轮中心，在加工等高齿弧齿锥齿轮的时候，当刀盘回转时，刀盘上每组刀片相对摇台的轨迹代表假想平面产形齿轮的一个轮齿。

在整个的切齿展成过程中，产形轮的齿面为第一曲面，轮齿齿面为第二曲面，二者按照一定的运动关系做切削加工，从而得到了最终轮齿齿面。所以，产形轮的形状及几何特点决定了最终的切齿结果。

当有z0组刀具的刀盘旋转过一周的时候，相当于齿数为zp的假想平面产形轮旋转过z0/zp转，当z0和zp为定值时，Eb/Ey=z0/zp，Eb为滚圆半径，Ey为基圆半径，因为刀盘半径大于滚滚圆半径，所以刀盘相对于假想平面产形齿轮的运动轨迹是一条延伸外摆线。外摆线的形状是由m=Eb/Ey来确定的，m值不同外摆线的形状就不同。

2  切齿坐标系建立

加工右旋齿轮时，建立的切齿啮合坐标系如图3所示，坐标系SR固连于机床，与机床坐标系SM重合，kR与摇台轴线相重合且为产形轮的回转轴线;坐标系SP与产形轮固定，产形轮和坐标系SP在铣齿过程中一起绕kp旋转;刀盘坐标系So，刀盘坐标系与产形轮坐标系Sp相固连，q为刀位极角;轮坯坐标系S1，用来描述被加工右旋锥齿轮在机床上的安装位置，k1与iR轴线的夹角为被加工的右旋齿轮的分锥角δ1，是被加工右旋锥齿轮的节锥角。

3  产形面方程推导

图4为加工右旋锥齿轮产形轮的形成图示，基圆的半径Ey=OpC，刀盘滚圆半径为Eb=OoC，刀位Ex=Ey+Eb，产形轮参考点分度圆半径为Rm=OpM，刀盘名义半径为r0=OoM，q为刀齿节点位于刀盘名义半径处M时的刀位极角。刀盘绕自身轴线的转角为ψ，绕产形轮轴线的转角为ψ'。设N为刀盘切削面上的任意一点，N0为刀尖顶点。刀顶距为W2，则刀具的内刀和外刀的刀尖半径r02可由下面的公式确定：

4  结论

本文介绍了摆线齿锥齿轮加工原理，为后文做摆线齿锥齿轮的产形轮齿面方程推导提供了理论基础，根据刀具、轮坯和机床的位置和相对运动关系推导了摆线齿锥齿轮的产形轮方程，后期可根据产形轮与被加工齿轮的切齿啮合关系和空间啮合原理，对被加工齿面的方程进行推导并建模，为摆线齿锥齿轮的齿面接触分析提供三维模型。

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