运用向量简证三角形内心坐标公式

武增明

摘 要：本文运用向量简证三角形内切圆圆心坐标公式，即三角形内心坐标公式.

关键词：向量;三角形内角平分线性质定理;角平分线定义;三角形内心坐标公式;简证

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2020）22-0032-02

若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，顶点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），内心O（x0，y0），则x0=ax1+bx2+cx3a+b+c，y0=ay1+by2+cy3a+b+c .

为了便于广泛交流，把此结论称之为三角形内切圆圆心坐标公式，即三角形内心坐标公式.

三角形内心坐标公式，文字表述简洁，符号表述漂亮，结构优美，十分有趣，让人赏心悦目，享受到数学之美，感受到数学的魅力，且有着广泛的用途.由此引起笔者极大的探究兴趣与热情，笔者查阅了大量的资料，没有找到三角形内心坐标公式的证明记录.笔者反复思考，反复推算，调整思维，受文[2]的启示，笔者想到运用向量探究三角形内心坐标公式的简证，获得成功，形成此文，与大家分享、共赏.

简证1 因为点O是△ABC的内心，连接AO 并延长交边BC于点D，连接BO，CO，如图1.则由三角形内角平分线性质定理，有AOOD=ABBD=ACCD，所以AOOD=b+ca，于是aOA+（b+c）OD=0 ①.

再由BDDC=cb，得bBD=cDC，

所以b（BO+OD）=c（DO+OC），

由此，有OD=bb+cOB+cb+cOC ②.

②代入①，得aOA+bOB+cOC=0 ③.

因为A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），O（x0，y0），

所以由③，得a（x1-x0，y1-y0）+b（x2-x0，y2-y0）+c（x3-x0，y3-y0）=0，即（ax1-ax0+bx2-bx0+cx3-cx0，ay1-ay0+by2-by0+cy3-cy0）=0，

所以ax1+bx2+cx3-（a+b+c）x0=0，ay1+by2+cy3-（a+b+c）y0=0，

故x0=ax1+bx2+cx3a+b+c，y0=ay1+by2+cy3a+b+c .

簡证2 连接AO，作OD⊥AC交边AC于点D，如图2.设△ABC的内切圆半径为r，则OD=r.

因为AO平分∠BAC，所以可设AO=λ（ABAB+ACAC）（λ>0），

所以|AO|=λ|ABAB+ACAC|.

因为|ABAB+ACAC|2

=2+2AB·AC|AB||AC|

=2+2cosA

=4cos2A2，

所以|ABAB+ACAC|=2cosA2，

从而|AO|=2λcosA2 .

因为sinA2=rAO，所以r=|AO|sinA2 .

又12（a+b+c）r=12bcsinA，

故（a+b+c）|AO|sinA2=2bcsinA2cosA2，

于是（a+b+c）2λcosA2sinA2=2bcsinA2cosA2，从而λ=bca+b+c .

把λ=bca+b+c代入AO=λ（ABAB+ACAC），

化简，得

AO=bAB+cACa+b+c，

即（a+b+c）AO=bAB+cAC.

因为A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），O（x0，y0），所以（a+b+c）（x0-x1，y0-y1）=b（x2-x1，y2-y1）+c（x3-x1，y3-y1），

故而（a+b+c）（x0-x1）=b（x2-x1）+c（x3-x1），

（a+b+c）（y0-y1）=b（y2-y1）+c（y3-y1），

所以x0=ax1+bx2+cx3a+b+c，y0=ay1+by2+cy3a+b+c .

说明 同理，可得BO=aBA+cBCa+b+c，CO=bCB+aCAa+b+c.

参考文献：

[1]人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准试验教科书（必修）数学4（A版）[M].北京：人民教育出版社，2014.

[2]祝兵.三角形“四心”向量形式的充要条件[J].数理化学习（高中版），2013（6）：17-18.

[责任编辑：李 璟]