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函数思想在高中数学解题中的应用

2020-09-10王鹏

数理化解题研究·高中版 2020年8期
关键词:函数思想解题高中数学

王鹏

摘 要:函数思想是高中数学教学中的重要思想之一,是数学学习的灵魂,贯穿整个教学过程.新课标改革背景下强调“教师教学过程中除了注重知识传授外,还要关注学生学习方法、思想情感以及价值观的培养,提高学生问题分析与解答能力.”在此背景下,探究函数思想在高中数学解题中的应用,不仅为学生数学学习提供了思想指导,还有利于突出重难点,满足新课标教学要求.为此,本文结合具体解题过程,分析函数思想的应用策略.

关键词:函数思想;高中数学;解题

中图分类号:G632文献标识码:A文章编号:1008-0333(2020)22-0051-02

函数是高中阶段数学知识的一项重要板块,在生活形态中属于量与量之间的变换,能够为其它知识学习提供向导作用.为此,利用函数思想优化学生解题过程,提高解题能力,不仅是实现函数思想渗透的一种关键途径,更是高中数学教学的一大特色与魅力.

一、函数思想相关分析

函数是数学的基本概念,是函数思想发展的基础.因此,教师在应用函数思想辅助解题时,必须充分了解函数有关定义及性质,具体包括周期函数、单调递增/递减函数、奇/偶函数、一次函数、二次函数、指数函数(如图1)、对数函数(如图2)等,在此基础上体会函数思想.

在高中数学中,许多知识中都体现了函数思想,包括方程、不等式、线性规划、随机变量、算法等,可谓是无处不在.在解题教学中,教师要注重分析不同知识与函数之间的关系,寻求函数思想运用的切入点.

二、函数思想在高中数学解题中的运用过程

1.引用函数单调性,求解不等式问题

函数与不等式属于两个性质完全不同的知识结构,在高中数学教学中,它们却有着密切的联系.不等式性质很大程度上反映了函数单调性.因此,在解题教学中,教师可以利用函数思想引导学生用函数的观点审视不等式,更好地把握不等式本质特征.为此,在笔者看来,不等式中最值与恒成立问题是函数思想渗透的切入点.相关例题如下:

例1 对任意x∈[-1,1],f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值大于零恒成立,求a的取值范围.

首先,带着函数思想进行审题,发现该问题的本质可以概述为“在某一闭区间上有参数的二次函数大于零恒成立的问题”.其次,借助分类讨论思想先将x∈[1,1]根据对称轴x=4-a2进行分类,分为1<4-a2、-1≤4-a2≤1、4-a2<-1三大段,讨论它在函数的递增、递减区间上f(x)值的情况,分别求出a的取值范围,综合出a的最终取值范围a<1.由此以来,在解题时不需要再讨论Δ<0的情况,不仅能够使每种情况不被遗漏,还可以提高解题的精确度.

2.引入函数解析式,求解数列问题

高中阶段学习的等比、等差数列本就是一类自变量为正整数的特殊函数,与函数思想有着密切的联系,不同的数列问题中无形中会隐藏着函数的某种特征.利用函数思想求解数列问题也是历年高考中的重点考题.利用函数思想求解数列问题的途径有很多,比如求解等差数列前n项和的最值问题时,可以将Sn看做关于n的二次函数,运用配方法,引入函數单调性知识解决问题.为了从“形”上帮助学生充分认识函数思想与数列知识之间的关系,本节以函数解析式的运用为例,分析相关数列问题的求解.

例2 已知a1=1,a2=a3=a4=0,求数列{an}的通项公式.

从函数思想角度分析来看,数列{an}与n之间存在着某种函数关系,可以将an看做f(n),列出函数解析式:f(n)=0(即an=0),此时n是f(n)=0的根,也可以称作零点.原问题的求解过程就可以设出an的表达式:an=k(n-2)(n-3)(n-4),根据已知条件:a1=1,运用待定系数法,求出k的值为-16,从而得出数列{an}的通项公式.

3.引入函数与方程联系,求解零点问题

函数思想是处理“数学型”问题的一种思维方法,描述的是现实生活中数量之间的变化关系.在问题解决中,从实际情境中建立对应函数模型,运用函数基本知识,实现问题的解决.方程类知识在教学中也孕育了函数思想,它的本质在于研究问题在运动中的等价关系,一般情况下习惯首先明确给出的未知量与已知量之间关系,通过构建方程或方程组,由未知量推导出已知量.虽然两者看起来本质不同,但在实际操作中常常互相渗透,函数间的关系与方程之间可以互相转换.

例3 已知函数f(x)=xlnx-ax2-x(a∈R),讨论函数f(x)的零点情况.

通过审题发现,函数f(x)并不是所熟悉的函数模型,解析式包括对数、幂函数,此时需要首先确定函数定义域x∈(0,+SymboleB@

).接下来引导学生对原函数进行变形,变为f(x)=x(lnx-ax-1)(a∈R),同时用g(x)表示“lnx-ax-1”,二次变形为f(x)=xg(x).因为x≠0,因此对函数f(x)零点的讨论可以转为对函数g(x)零点情况的讨论.解题过程进行到这一步时,引入函数思想中与方程之间的联系,将对g(x)零点的讨论等价转化为讨论方程lnx-ax-1=0的根的情况.但方程仍然不是我们熟悉的方程,此时可以重新从函数角度进行审视,将方程转化为lnx-1x=a的形式,求解y=lnx-1x与y=a交点横坐标,从而得出原函数f(x)的零点情况.

综上所述,函数思想在高中解题过程中的运用,不仅展现了函数知识与其它板块知识之间的联系,还为解题提供了新思路,有利于培养学生创新意识,提高解题能力.为此教师要重视函数思想的渗透,优化解题过程.

参考文献:

[1]朱兆轩.函数思想在高中数学解题应用中的再思考和实践[J].数学学习与研究,2018(22):124.

[2]何介.如何将函数思想融入高中数学教学[J].数学学习与研究,2019(05):90.

[责任编辑:李 璟]

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