用图思考求ω

李定平

摘 要：对一道高考选择压轴题的解法进行了探究，得到用图思考求ω比计算更为快捷，说明了已知三角函数y =Asin（ωx+φ）图象特征求频率ω和初相φ的各类题型用图思考的思维方法.

关键词：高考压轴题;用图思考;区间长度

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2020）22-0029-03

2016年新课标一卷理12题：

已知函數f （x）=sin（ωx+φ）（SymbolwA@

>0，|SymboljA@

|≤π2），x=-π4为f（x）的零点，x=π4为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（π18，5π36）单调，则ω的最大值为（）.

A.11B.9C.7D.5

本题作为选择题中的最后一题，也称选择压轴题，是区分度题高的题之一.它考查了y=Asin（wx+φ）的函数图象变化对参数A，ω，φ的影响，即考查了函数的单调性、对称性、周期性的综合运用，需要较高的综合能力，也就深受各地统考模拟题的青睐.一般思路是计算出来：

解析 ∵x=-π4为零点，f（-π4）=0，∴ω（-π4）+φ=nπ，n∈Z…①.

∵x=π4为对称轴，f（π4）=SymbolqB@

1，∴ω×π4+φ=n′π+π2，n′∈Z…②.

∴②-①得ω×π2=（n′-n）π+π2=kπ+π2，k∈Z，即ω=2k+1，即ω为奇数.

∵f（x）在（π18，5π36）单调，∴（ω×5π36+φ）-（ω×π18+φ）≤（kπ+π2）-（kπ-π2）=SymbolpA@

，k∈Z，

即3π36ω≤π，∴ω≤12，故有奇数ω的最大值为11.

当ω=11时，11SymboltB@

（-π4）+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤π2，∴φ=-π4.

此时f（x）=sin（11x-π4）在（π18，5π36）上不单调，不满足题意.

当ω=9时，9×（-π4）+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤π2，∴φ=π4.

此时f（x）=sin（9x+π4）在（π18，5π36）上单调递减，满足题意.

故ω的最大值为9，答案选B.

本题实际上就是已知函数图象，求系数ω、φ，如果题型方法溯源的话，就是初中求函数解析式的方法——待定系数法（或代点法），把已知点代入后得系数组成的方程组，解之得.这是一种基本数学方法.作为选择题中的压轴题，考试时像上面解法一样，中规中矩把它算出来当然好，可是，考场上有那么多时间吗？况且本身就是考查学生的综合能力，既然是考查函数图象，就可以用图象思考：

思维分析 求ω的最大值就是求周期T=2πω最小值，由于y=Asin（ωx+φ）每一个单调区间长度恰好就是半个周期πω，也就是求单调区间长度的最小值.

解析 在（π18，5π36）单调，为使单调区尽可能短，则在区间（5π36，π4=9π36）内可以插入一个对称点，且两侧单调性相反，在x=π18左侧的对称轴x=a与对称轴x=π4组成一个完整周期.∵x=-π4为f（x）的零点，这样区间[-π4，π4]的图象如图1所示：最多只能画4.5个单调区间，所以区间[-π4，π4]的长度π4-（-π4）=4.5SymboltB@

πω，ω=9，答案选B.

用图思考，三下五除二非常简洁地将ω求出来了，这不就是我们所要求掌握的思维方式吗？这也是我们数学学科的核心素养——直观想象.下面就求y=sin（ωx+φ）中的ω的题型分类例说.

一、已知两关键点（零点或对称轴）及在某区间单调求ω

例1 已知函数f（x）=3sin（ωx+φ）（ω>0，0<φ≤π2），f（-π3）=0，f（2π3-x）=f（x），且f（x）在区间（π12，π4）上单调，则ω的最大值为（）.

A.274B.214C.154D.94

解析 由已知x=-π3为零点，x=π3是对称轴，而区间（π4，π3）长度小于（π12，π4）长度，所以在x=π4到x=π3之间不能插入一个对称轴点，只能继续单调，所以（π12，π3）上单调，区间[-π3，π3]的图象如图3所示：最多只能画2.5个单调区间，所以区间长度π3-（-π3）=2.5SymboltB@

πω，ω=154，所以选C.

说明：由两关键点之间画出单调区间的个数是解此题的关键.

例2 函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω>0，0<φ<π）是R上的偶函数，其图象关于点M（34π，0）对称，且在区间[0，π2]上是单调函数，则φ=，ω=.

解析 为偶函数，f（0）=f（φ）=SymbolqB@

1，∵0<φ<SymbolpA@

，∴φ=π2.f（x）在[0，π2]上单调继续至M（如图3虚线）或拐至M（实线），得到了函数的单调区间长度，计算得ω=23或ω=2.

说明：难点是f（x）在[0，π2]上单调继续至M还是拐至M.

例3 设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A>0，ω>0）.若f（x）在区间[π6，π2]上具有单调性，且f（π2）=f（2π3）=-f（π6），则f（x）的最小正周期为.

解析 由f（π2）=-f（π6）得零点是（π3，0），由f（π2）=f（2π3）得对称轴x=712π，由在区间[π6，π2]上具有单调性，必然单调至对称轴x=712π（如图5），所以区间（π3，712π）长度是f（x）的14T，T=4SymboltB@

（7π12-π3）=SymbolpA@

.

说明：两自变量函数值相反，中间点就是零点，两自变量函数值相等，中间点就是对称轴.

二、由一个关键点及在某区间单调求ω

例4 已知f（x）=sin（ωx+π3）（ω>0）f（π6）=f（π3），且f（x）在區间（π6，π3）有最小值，无最大值，则ω=.

解析 由已知f（x）关于x=π4对称且是最小值点（如图6），ω×π4+π3=3π2+2kπ，解得ω=143+8k（k∈Z），无最大值，单调增区间长度πω>π3-π4=π12，得ω<12，故ω=143.

说明：在某区间单调，不能确定函数的单调区间长度，只能得到单调区间长度的一个范围，从得到ω的

范围.

三、由函数在某区间单调求ω

例5 已知ω>0，函数f（x）=sin（ωx+π4）在（π2，π）上单调递减，则ω的取值范围是.

解析 f（0）=22，且x>0时开始单增，由于单调区间长度d≥SymbolpA@

-π2=π2，所以在（0，π2）内只能插入一个最大值点（如图7），∴π2≤（ω×π2+π4）且（ωSymbolpA@

+π4）≤3π2.算得12≤ω≤54.

说明：“五点作图”知y=sin（ωx+φ）右边最靠近y轴的减区间是由π2≤（ωx+φ）≤3π2计算而得的.

四、由关键点确定增减区间

例6 已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω>0，|φ|≤π2），f（π6）=f（5π6）=0，且f（x）在区间（π2，7π6）无最值，则f（x）的单调递增区间为（）

A.[4kπ3-π6，4kπ3+π2]（k∈Z）

B.[kπ3-π6，kπ3+π2]（k∈Z）

C.[4kπ3-π3，4kπ3+2π3]（k∈Z）

D.[kπ3-π3，kπ3+2π3]（k∈Z）

解析 由两零点距离及单调区间长度知：两零点相邻，对称轴为x=π2及周期T=4π3（如图8）.若两零点之间图象是下凸（虚线），初始点为x=-π2;若上凸（实线），初始点为x=π6，由|φ|=|-ωx|=|-32×π6|=π4符合要求，故上凸，增区间为x=π2的左侧，选A.

说明：重视“五点法”作图中五个点的相互位置及增减性.

练习：（为了巩固，给出几个练习供选用）

1.已知函数f（x）=sinωx（ω>0）的图象关于点（2π3，0）对称，且f（x）在[0，π4]上为增函数，则ω=（ A ）.

A.32B.3C.92D.6

2.若函数f（x）=sinωx（ω>0）在区间[0，π3]上单调递增，在区间[π3，π2]上单调递减，则ω=（ B ）.

A.23

B.32

C.2D.3

3.已知函数y=2cos2ωx-2sinωxcosωx（ω>0）在区间[0，π8]上是单调函数，则正整数ω的值为ω=1或ω=3.

4.已知函数f（x）=sin（2x+φ），其中φ为实数，若f（x）≤|f（π6）|对x∈R恒成立，且f（π2）>f（π），则f（x）的单调递增区间是（ C ）.

A.kπ-π3，kπ+π6（k∈Z）

B.kπ，kπ+π2（k∈Z）

C.kπ+π6，kπ+2π3（k∈Z）

D.kπ-π2，kπ（k∈Z）

只有真正理解了y=Asin（ωx+φ）的图象特征才能灵活地解决它的图象问题，反过来灵活运用图象牲特征解题又能加深对三角函数图象的理解，提升我们的直观想象素养，在以素养导向的高考中取得优异成绩.

参考文献：

[1]严娟.2019年高考数学试题压轴题分析[J].中学课程辅导（教师教育），2019（24）：71+74.

[责任编辑：李 璟]