例谈条件极值在多元函数最值问题中的应用

余铁青

摘 要：在高考和竞赛中有一类多元函数问题，用中学数学知识难以处理，也直接导致了得分率低的事实.本文借助高等数学中的条件极值以及拉格朗日乘数法研究了此类问题，并得到了相关问题函数模型.其基本问题模型可表述为：若实数x1，x2，x3，...满足若干限制条件，求关于x1，x2，x3...新的函数的最值问题模型.

关键词：多元函数;条件极值;拉格朗日乘数法

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2020）22-0005-02

一、引言

笔者最近在统计高考数学考点时经常发现多元函数在考查，并且在近几年的全国数学联赛预赛中考查频率较高.而实际情况是大部分考生做惯了单变量的函数最值问题，一般容易联想到运用代入法，换元法或者导数的方法进行处理，但通过实际运算发现用这种方法处理起来是十分困难的.在高考数学考试大纲里面明确要求要考生进一步培养的潜质，这也导致了大学部分学习的内容渗透到高中进行隐蔽性的考查.这就直接导致了高考数学和竞赛数学中越来越多的考查学生迁移发现的能力.笔者基于此去翻阅了华东师范大学数学系主编的数学分析教材，发现我们利用条件极值和拉格朗日乘数法来解决多元函数最值问题是行之有效的.假如不与学生介绍此类做法会导致大家运用常规的方法进行处理，效率十分低下，得分少，甚至不得分.那么我们系统性，程序性地处理这类问题就显得很有必要了.

二、基本概念介绍

1.偏导数

二元函数当固定其中一个自变量时，它对另一个自变量的导数称为偏导数，定义如下：

设二元函数z=fx，y，x，y∈D，若x0，y0∈D，且fx，y0在x0的某一邻域内有定义，则当极限

limΔx→0Δxfx0，y0Δx=limΔx→0fx0+Δx，y0-fx0-y0Δx

存在时，称这个极限为函数f在x0，y0关于x的偏导数，记作fxx0，y0或zxx0，y0，fxx0，y0，fxx0，y0.

同样定义f在点x0，y0关于y的偏导数fyx0，y0或fyx0，y0.

2.拉格朗日乘数法（Lagrange multiplier）

求目标函数z=fx，y在约束条件φx，y=0下的极值，

构造：拉格朗日函数Lx，y，λ=fx，y+λφx，y，其中λ是待定系数，则极值点就在方程组fxx，y+λφx，y=0，fyx，y+λφx，y=0，φx，y=0的解x0，y0，λ所对应的点x0，y0.

3.黑塞矩阵（Hessian Matrix）

我们称x0，y0为稳定点，再根据黑塞矩阵正定，负定来判定是极大值点还是极小值点.

三、真题应用

例1 （自变量无限制条件题型）

若x，y∈R，求f（x，y）=x2+2xy+4y2+x+2y的最小值.

引理 （截取）在二元二次函数

fx，y=ax2+2bxy+cy2+dx+ey+g中，设Δ=ac-b2，则有：

若Δ>0，当a>0时，fx，y在点px0，y0取到最小值.

解 令fxx，y=2x+2y+1=0，fyx，y=2x+8y+2=0

x=-13，y=-16.

代入求得fminx，y=-13

对比引理，此题中a=1，b=1，c=4，显然Δ=ac-b2=3>0，所以解答正确.

说明 完整引理来源于1990年昭通师专（现昭通学院）数学系教师饶克勇老师发表的《二元二次函数的极值公式》）

例2 （自变量有限制型题型）

（浙江2014年高考题文科）已知实数a，b，c满足a+b+c=0，a2+b2+c2=1，则a的最大值为.

解 构造拉格朗日函数：

La，b，c，λ，μ=a+λa+b+c+μa2+b2+c2-1，

∴La=1+λ+2μa=0，Lb=λ+2μb=0，Lc=λ+2μc=0，Lλ=a+b+c=0，Lμ=a2+b2+c2-1=0.解得a=±63，b=66，c=66，λ=±13，μ=66.

∴a的最大值是63.

例3 （2018年的全国高中数学联合竞赛四川省初赛第14题）设x，y，z为正实数，求（x+1y+2）（y+1z+2）（z+1x+2）的最小值.

方法1 （常规法）

记T=（x+1y+2）（y+1z+2）（z+1x+2），

当x=y=z=1时，T=20+142.

下证T≥20+142.

由均值不等式显然有

T≥2xy+22yz+22zx+2

=8+42xz+zy+yx

+4xy+yz+zx+22

≥8+42×33xz·zy·yx+4

×33xy·yz·zx+22

=8+42×3+4×3+22=20+142.

显然这种做法很难想到，尤其是第一步为什么要取三個自变量相等且同时为1.

方法2 （偏导法）

记T（x，y，z）=（x+1y+2）（y+1z+2）（z+1x+2），

Txx，y，z=0，Ty（x，y，z）=0Tz（x，y，z）=0x=y=z=1.

代入求得Tmin=20+142.

对比发现这样处理起来远比利用不等式简单，而且辐射面扩大，能够较好地照顾到基础中等的同学.

写在最后：很多一线教师抱怨高等数学内容的学习对于中学的教学没有太大的作用，实际上是因为没有真正把两者进行比对分析，发现内在的必然联系，才造成认为高等数学在初等数学里面没有应用的错觉.笔者认为必须在教学中要经常反思，以促成教师掌握以高观点的角度看问题的思维意识和情感态度.

参考文献：

[1]华东师范大学数学系.数学分析（第四版上册）[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]吕荣春.高观点下函数压轴题的系统性解读[M].成都：电子科技大学出版社，2017.

[3]饶克勇.二元二次函数的极值公式[J].昭通师范高等专科学校学报，1999（02）：19-21.

[责任编辑：李 璟]