一道2019年浙江大学 自主招生试题的解法探究和推广

宋磊

摘 要：本文通过对一道2019年浙江大学自主招生试题的多角度观察、思考，从而引发出多种求解方法，对提高学生思维水平、培养解题能力有较好的促进作用，最后对此类问题进行推广，对提升学生的探究水平和探究意识大有好处.

关键词：自主招生;解法探究;三倍角

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2020）22-0069-02

一、真题再现

（2019年浙江大学自主招生试题）已知α=π7，求cosα-cos2α+cos3α.

二、解法探究

解法1 cosα-cos2α+cos3α=cosπ7-cos2π7+cos3π7=cosπ7+cos3π7+cos5π7.

令b=cosπ7+cos3π7+cos5π7，则

2bsinπ7=2sinπ7cosπ7+2sinπ7cos3π7+2sinπ7cos5π7.由积化和差公式可知，2bsinπ7=sin2π7+sin4π7-sin2π7+sin6π7-sin4π7=sin6π7，所以，b=12.故cosα-cos2α+cos3α=12.

解法2 cosα-cos2α+cos3α

=cosπ7-cos2π7+cos3π7

=2cosπ14cosπ7-2cosπ14cos2π7+2cosπ14cos3π72cosπ14

=（cos3π14+cosπ14）-（cos5π14+cos3π14）+（cos7π14+cos5π14）2cosπ14

=cosπ2+cosπ142cosπ14

=12.

解法3 cosα-cos2α+cos3α

=cosπ7-cos2π7+cos3π7

=cosπ7+cos3π7+cos5π7

=2sinπ7（cosπ7+cos3π7+cos5π7）2sinπ7

=sin2π7+2sinπ7cos3π7+2sinπ7cos5π72sinπ7

=sin2π7+（sin4π7-sin2π7）+（sin6π7-sin4π7）2sinπ7

=sin6π72sinπ7

=12.

解法4 利用三倍角正余弦公式，即sin3α=3sinα-4sin3α.

cosα-cos2α+cos3α

=cosπ7-cos2π7+cos3π7

=（cosπ7+cos5π7）+cos3π7

=2cos3π7cos2π7+cos3π7

=cos3π7（2cos2π7+1）

=cos3π7（3-4sin2π7）

=cos3π7（3sinπ7-4sin3π7）sinπ7

=cos3π7sin3π7sinπ7

=12sin6π7sinπ7

=12.

解法5 构造方程，令t=cosπ7-cos2π7+cos3π7=cosπ7+cos3π7+cos5π7，则t2=cos2π7+cos23π7+cos25π7+2cosπ7cos3π7+2cosπ7cos5π7+2cos3π7cos5π7.

故t2=32+cos2π7+cos6π7+cos10π72+2（cos2π7+cos4π7+cos6π7），即

t2=32+52（cos2π7+cos4π7+cos6π7）

=32-52（cosπ7+cos3π7+cos5π7）

于是，t2=32-52t，解得t=12或t=-3（舍），故cosα-cos2α+cos3α=12.

解法6 構造复数，令z=cosπ7+isinπ7.于是问题转化为求u=z+z2+z5的实部.z7=cosπ+isinπ=-1，z·z-=1，z+z-=2cosπ7，所以

u=（cosπ7+cos3π7+cos5π7）+i（sinπ7+sin3π7+sin5π7）.又

u=z+z3+z5=z-z71-z2=z+1（1-z）（1+z）

=11-z=1-z-（1-z）（1-z-）

=1-cosπ7+i·sinπ71+z·z--（z+z-）

=1-cosπ7+i·sinπ72（1-cosπ7）

=12+sinπ72（1-cosπ7）i

所以，cosα-cos2α+cos3α=Re（u）=12.

三、推广探究

推广1 当k=1，3，5时，coskπ7+cosk3π7+cosk5π7=12.

推广2 设n∈N*，则cos12n+1π+cos32n+1π+…+cos2n-12n+1π=12.

推广3 设n∈N*，cos22n+1π+cos42n+1π+…+cos2n2n+1π=-12.

推广4 设n∈N*，cos12n+1π+cos22n+1π+…+cos2n2n+1π=0.

四、总结思考

在平时的教育教学活动中，我们师生要树立先解决一个题，再试图解决一类题的意识和想法，不能就题论题.要重视蕴涵在数学知识中的数学思想方法，学会数学思维，会学数学，实现数学的“思维价值”，提升学生的数学核心素养.教师要引导学生积极思考探索，启发学生如何思考和探索问题，让其学会思考.

参考文献：

[1]袁震东.高级中学课本数学高中一年级第二学期（试用本）[M].上海：上海教育出版社，2008.

[2]袁震东.高级中学课本数学练习部分高中一年级第二学期（试用本）[M].上海：上海教育出版社，2008.

[责任编辑：李 璟]