一道高考波动试题的多解与启示

许冬保

摘 要：2018年高考全国理综Ⅰ卷波动试题有效地考查了考生的知识、能力与科学素养.试题难度中等，但第2问难度较大.在高三复习中，该类问题成为困扰广大考生的难点之一.对试题进行多视角分析，有利于发展学生的科学思维能力.教学启示有，夯实基础知识，发展应用水平;重视科学思维，提高思维能力;增强实践意识，提升科学素养.

关键词：试题;波动图像;振动图像;波动方程;启示

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2020）22-0083-02

题目 （2018年高考全国理综Ⅰ卷）一列简谐横波在t=13s时的波形图如图1所示，P、Q是介质中的两个质点.图2是质点Q的振动图像.求

（1）波速及波的传播方向;

（2）质点Q的平衡位置的x坐标.

一、试题解析

（1）由图1可以看出，该波的波长为λ=36cm;由图2可以看出，周期为T=2s.因此，波速为v=λT=18cm/s.

由图2知，当t=13s时，Q点向y轴正方向运动，结合图1可得，波沿x轴负方向传播.

以下对第（2）问的解答给出不同的解法.

解法1 分析综合法（国家考试中心解答）

（2）设质点P、Q平衡位置的x坐标分别为xP、xQ.由图1知，x=0处y=-A2=Asin（-30°），因此 xP=30°360°λ=3cm.

由图2知，在t=0时Q点处于平衡位置，经Δt=13s，其振动状态向x轴负方向传播至P点处，于是，有

xQ-xP=vΔt=6cm

综上可得，质点Q的平衡位置的x坐標为 xQ=9cm.

解法2 作图分析法

作出t=0时刻的波动图像，如图3中虚线波形.由图可知，质点Q所在平衡位置至坐标原点的距离恰为波长λ的1/4.则xQ=9cm.解法3 长度测量法

根据图1中半个波长的长度为18cm，分别用直尺测量半个波长的实际长度及质点Q的平衡位置至坐标原点之间的长度.由比例关系得到 xQ=9cm.

解法4 波动方程求解（取Q点作为波源质点）

参考图2，当t=0时，质点Q的振动方向沿y轴正方向，且位移等于0.写出质点Q的振动方程，即

y=Asinωt，

则沿x轴负方向传播的简谐横波在t时刻的波动方程为

y=Asinωt-xQ-xv

因此，当x=0时，有 y=-A2，即

-A2=Asinωt-xQv

式中 ω=2πT=πrad/s，t=13s，v=18cm/s.

代入已知数据，得

ωt-xQv=-π6

解得 xQ=9cm.

解法5 波动方程求解（取坐标原点作为波源质点）取坐标原点处的质点为波源.则沿x轴负方向传播的简谐横波在t时刻的波动方程（用余弦函数表示）为

y=Acosω（t+xv）+φ0

式中φ0为初相位.ω=2πT=πrad/s，v=18cm/s.

令x=0，t=13s，则y=-A2.因此，有-A2=Acosωt+φ0，即

cosωt+φ0=-12（1）

结合图2，对于质点Q，当t=0时，有 0=AcosωxQv+φ0，即

cosωxQv+φ0=0（2）

当t=13s时，有 yQ=Acosωt+xQv+φ0.

由图2知，Q的振动方程yQ=Asinωt.当t=13s时，有 yQ=Asinπ·13=32A.于是，得到

32A=Acosω（t+xQv）+φ0

即

cosω（t+xQv）+φ0=32（3）

联立（1）、（2）、（3）式中的任意2个表达式，结合图1中Q的位置，均可解得

φ0=π;xQ=9cm

说明：关于初相位φ0也可以通过振动方程与速度方程来确定.

对于原点处的质点，振动方程为 y=Acosωt+φ0，速度为 v=dydt=-Aωsinωt+φ0.由图1知，y<0，v>0，则有 cosωt+φ0<0，sinωt+φ0<0，角度应处于第3象限内.于是可得

-A2=Acosπ·13+φ0，因此 φ0=π.根据（2）式或（3）式可解得 xQ=9cm.

二、教学启示

这是一道选考试题，抽样难度为0.45，是一道中等难度的试题.如果仅分析试题的第2问，难度是比较大的，在高三复习中，一直以来此类问题困扰着广大考生.那么试题难在哪里？带给我们有哪些启示呢？

1.夯实基础知识，发展应用水平

从知识角度来看，波动可视为振动的集合，描述的是某一时刻介质质点的振动情况，波长反映了波在空间传播的周期性;振动描述一个质点在各个不同时刻的运动情况，周期反映了质点振动的周期性.试题将振动图像与波动图像结合起来，考查振动与波动中的核心知识.通过振动图像可以得到：周期T=2s、t=13s时刻质点的振动方向沿y轴正方向、质点从平衡位置到图1所示的位置历时13s.通过波动图像可以得到：波长λ=36cm、坐标原点处质点及P质点在t=13s时刻振动的位移.试题有效地考查了考生对于振动与波动中有关知识的掌握程度与应用水平.

2.重视科学思维，提高思维能力

物理观念的形成和发展需要在物理知识学习及应用的过程中才能逐步形成，从相互作用和能量的角度认识机械振动与机械波，了解波动的特征，有利于科学思维能力及科学素养的提升.在波动问题的学习中，要重视对质点、介质、简谐运动、平面简谐波等物理模型的建构，认识建构模型是一种重要的科学思维方法，同时也是发展和提高学生科学思维能力的重要途径.试题要求在认识振动与波动模型的基础上，从时间与空间、从个体与整体、从静态与动态等视角来认识波动的形成过程，来理解振动与波动的关系.

3.增强实践意识，提升科学素养

试题不是实验题，但是，认真绘图，细致测量等均有利于提高学生的科学探究能力、增强实践意识、养成科学态度，这些正是物理核心素养的重要内容.虽然绘图、测量未必得到准确的结果，但仍然提供了一种解决问题的方式，拟或对定量分析带来暗示或某种帮助，从而促进问题的解决.这也是物理学习中不可或缺的能力与素养.

用波动方程解题，似乎超越了考试大纲的约束，对多数学生而言是不做要求的，但对于参加国家强基计划招生考试的学生，适当扩大知识面是十分必要的，对综合素养的提高无疑是大有益处的.

参考文献：

[1]漆安慎，杜婵英.普通物理学教程力学（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2005：338-339.

[2]中华人民共和国教育部.普通高中物理课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018：50-51.

[责任编辑：李 璟]