从观察到思考

杨君伟

摘 要：在进入高中数学学习之后，学生们会发现我们所要思考的模式和解题方法比以前更加丰富了.但是在进行高中数学问题解答的时候，所要经历的依然是从观察到思考这样的过程.本文将对解题时常见的观察角度进行详细叙述，并结合实例来说明如何在高中数学解题过程中进行思维拓展.

关键词：观察;思考;高中数学;思维拓展

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2020）22-0077-02

俗话说得好：“智慧源于思考，思考源于观察.”对同一个问题，从不同的角度去观察，往往可以给我们带来不一样的思考和不一样的方法，这正是一题多解的形成原因.另外，在高中数学问题的解答过程当中，如何有效地突破一些较为复杂的难点，最关键的地方还是要通过观察来进行.那么如何通过有效的观察来实现题目的多样化求解呢？这就是本篇文章所要讨论的问题.

一、观察字母变量

在解题过程中首当其冲的一个重要观察角度就是要对相应的字母变量进行观察.有时我们需要观察变量的个数，并进一步思考如何消元或换元（比如函数问题）;有时我们需要观察变量的属性，并进一步思考选用什么知识工具去处理问题（比如解三角形问题）;有时我们需要观察变量的次数，并进一步思考如何设计求解路径.以下举一例说明：

例1 已知不等式x3-（2a+2）x2+（2a+1）x+λ≥0对任意的a∈[32，52]，x∈[1，2]恒成立，求正实数λ的取值范围.

这个题目中的不等式中含有三个字母，其中正实数λ是我们要求解范围的变量，其余两个变量的范围是给定的，但是这两个变量的次数存在高低不同，我们可以先分析次数较低的變量a，把恒成立的不等式改写成：λ≥（2x2-2x）a-x3+2x2-x，a∈[32，52]，于是λ大于右边关于变量a的一次函数在给定区间上的最大值，即λ≥-x3+7x2-6x，x∈[1，2]，进而λ大于右边关于变量x的一次函数在给定区间上的最大值，即λ≥8.

二、观察式子结构

通过观察式子结构往往可以帮助我们构造恰当的函数模型，比如：在导数应用小题中，我们需要根据导数不等式构造合适的原函数解题;在数列通项公式求解题型中，我们需要观察条件等式的特点，来选择通项公式求解方法;在解三角形问题中，我们需要观察已知等式的结构特点来判断是应该“角化边”还是应该“边化角”.以下举一例说明：

例2 已知f（x）=12x2-（2a+2）x+（2a+1）lnx，对任意的a∈[32，52]，x1，x2∈[1，2]，x1≠x2，不等式|f（x1）-f（x2）|≤λ|1x1-1x2|恒成立，求正实数λ的取值范围.

在本题求解中，式子|f（x1）-f（x2）|≤λ|1x1-1x2|的结构特点为：含有两个变量x1，x2，不妨假设x1<x2，可以通过变形将两个变量分离，分离后的式子为：f（x1）-λx1≤f（x2）-λx2，两边结构一致，可以通过构造函数，利用函数单调性的定义来求解.

高中数学当中有很多重要的公式、性质，通过对题目所给式子的结构进行观察以及变形思考，能够更快地将这些题目与已经学到过的公式、性质等建立联系，快速构建解题思路.

三、观察运算特点

数学的推理离不开运算，而对运算特点的仔细观察，常常能帮我们寻找到正确的解题方向.这样的观察角度多见于不等式类问题，比如利用基本不等式求最值，利用对数平均值不等式解决极值点偏移问题，以及在自招或竞赛中常见的柯西不等式的应用等.以下举一例说明：

例3 已知a，b，c是不全相等的正数，求证：lga+b2+lgb+c2+lgc+a2>lga+lgb+lgc.

这个题目的左端变量位于真数位置，而且是“和式”运算，这不利于我们对左端式子进行变形分析，因为我们都知道，真数位置如果是乘除运算，是可以进行式子变形化简的，但是这里真数的“和式”运算，怎么样才能转化为“乘除”运算？再观察到左端和右端并不相等，所以我们可以利用不等式将“和式”化为“积式”，用到的工具当然就是基本不等式.

四、观察条件联系

对于题目已知条件的观察，主要是观察条件之间的联系，这在向量问题、立体几何问题等题型中较多见.当然，任何数学题目的求解都离不开条件的观察，这里所强调的，是在条件繁多的情况下，我们要着重观察分析条件之间的联系.以下举一例说明：

例4 已知两个单位向量OA，OB，它们的夹角为2π3，点C在以O为圆心的单位圆弧上运动，若OC=xOA+yOB，求x+y的最大值.

这个题目中，已知条件涉及到两个单位向量OA，OB及其夹角，这两个条件结合起来，可以计算两个向量OA，OB的数量积;点C在以O为圆心的单位圆弧上运动，说明|OA|=1.这几个条件结合在一起可以发现，在向量等式OC=xOA+yOB的两端可以同时进行平方运算，得到关于实数x，y的等式.再结合运算特点的观察，利用基本不等式工具即可求解.

五、观察图象图表

数形结合是数学中非常重要的思想，其中的“形”指的就是图象图表.我们通过观察图象图表，可以直观感受到研究对象的变化规律，进而引导我们进行严谨论证，理解问题的“本质”.在解题过程中，观察图象图表可以帮助我们快速理解题意，有时也可以帮助我们找到巧妙解.以下举一例说明：

例5 已知函数f（x）=aex-x-1，若f（x）≥0对于任意的x∈R恒成立，求实数a的取值范围.

这个问题中的不等式可以变形为：a≥x+1ex，x∈R，则实数a大于等于右端函数的最大值，通过观察右端函数的图象即可得到问题的解.本题还可以等价变形为：1a（x+1）≤ex，x∈R，左端是一条恒过定点（-1，0）的动直线，右端是不含参的函数，其图象是确定的，所以我们可以观察动直线和右端曲线的位置关系来求解——当动直线在曲线下方，或者刚好和曲线相切时，是满足题意的，所以切线的斜率就是1a的最大值，进而可求得实数a的取值范围.

文中提到的五种有关高中数学解题过程中的观察角度都是因时而动的.对于不同类型的数学问题，有的时候可能需要结合多种类型的观察方式才能够得出美妙的结果，同学们要在平时的训练中细心体会，长期积累，方能做到灵活应用.

参考文献：

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[3]杜立珍.思维品质在数学解题中的作用[J].软件（电子版），2017，34（007）：P.35.

[4]李勇.数学解题中的思考——分类讨论思想的应用[J].试题与研究：教学论坛，2017，67（33）：46-47.

[责任编辑：李 璟]