例谈用法向量解立几题

叶炼

摘 要：本文介绍了建立空间直角坐标系，用空间向量法来解答立体几何中的角度和距离问题.

关键词：空间直角坐标系;向量;法向量;角;距离

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2020）22-0036-02

普通高中课程标准教科书对法向量是这样定义的：如果a⊥α，那么向量a叫平面α的法向量.

运用法向量这一工具来处理立几中求角和距离等问题，可以避开了立几传统解法的较为繁琐的推理，从而降低思维难度，更使解题方法模式化，解答过程流畅、简洁，易于掌握.

运用法向量解题，主要利用下面三个定理：（为了节省编幅，定理证明略）

定理1 若平面α的法向量为n，B为α内任一点，则点A到平面α的距离d=|AB·n|n.

定理2 若直线与平面法向量的夹角为α，则线面所成的角θ满足sinθ=|cosα|.

定理3 若二面角两个面的法向量分别为n1、n2，则二面角（锐角）的平面角θ满足cosθ=|cos〈n1，n2〉|.

例1 已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，AA1=2，点E是CC1的中点，点F是BD1的中点.

（1）证明EF为BD1与CC1的公垂线;

（2）求点D1到面BDE的距离.

解 （1）（略）

（2）以D为原点，分别以DA、DC、DD1为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则D（0，0，0），B（1，1，0），E（0，1，1）.

∴DB=（1，1，0） BE=（-1，0，1）

设平面BDE的法向量n=（s，t，1），由n⊥DB，n⊥BE得

n·DB=（s，t，1）·（1，1，0）=s+t=0，

n·BE=（s，t，1

）·（-1，0，1）=-s+1=0.

∴s=1，t=-1，故n=（1，1，1），|n|=3.

∵D∈面BDE，DD1=（0，0，2），

∴DD1·n=（0，0，2）·（1，1，1）=2.

∴點D1到面BDE的距离d=|DD1·n|n=23=233.

例2 已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于面ABCD，且GC=2，求点B到面EFG的距离.

解 以C为坐标原点，CD为x轴，CB为y轴，建立如图所示的直角坐标系O-xyz，则E（2，4，0），F（4，2，0），G（0，0，2），B（0，4，0）

∴EF=（2，-2，0），EG=（-2，-4，2）

设平面EFG的法向量n=（s，t，1），由n⊥EF，n⊥EG得

nEF=（s，t，1）（2，-2，0）=2s–2t=0

nEG=（s，t，1）（-2，-4，2）=-2s-4t+2=0

∴s=t=13

∴n=（13，13，1） |n|=113

∵E∈面EFG，EB=（-2，0，0）

∴EBn=（-2，0，0）（13，13，1）=-23

∴点B到面EFG的距离d=|EB·n|n=23113=21111.

例2 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是

等腰直角三角形，∠ACB=π2.侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.

（1）求A1B与平面ABD所成的角的正弦值;

（2）求点A1到平面ABD的距离.

解 （1）如图，建立以C为原点，分别以CA、CB、CC1为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系O-xyz，设A（a，0，0），B（0，a，0），C（0，0，0），A1（a，0，2），B1（0，a，2），C1（0，0，2），D（0，0，1）.其中令AC=a>0.

由E是A1B的中点，得E（a2，a2，1），由G是△ABD的重心，得G=（a3，a3，13），故EG=（-a6，-a6，-23）为平面ABD的法向量，且|EG|=162a2+16.

又A1B=（-a，a，-2），|A1B|=2a2+4，

∴A1B·EG=（-a，a，-2）·（-a6，-a6，-23）=43.

而EG⊥BD，故EG·BD=（-a6，-a6，-23）·（0，-a，1）=0，∴a=2.

∴|EG|=63，|A1B|=23.

设A1B与平面ABD所成的角为θ，则

sinθ=|cos〈A1B，EG〉|=4363×23=23.

∴A1B与平面ABD所成的角的正弦值为23

（2）设平面AED的法向量n=（s，t，1），

则n⊥AE，n⊥AD.

由（1）可知A（2，0，0），E（1，1，1），D（0，0，1），

∴AE=（-1，1，1），AD=（-2，0，1）

n·AE=（s，t，1）·（-1，1，1）=0，

n·AD=（s，t，1）·（-2，0，1）=0

∴s=12，t=-12.故n=（12，-12，1），|n|=62.

又A∈面AED，AA1=（0，0，2），

∴AA1·n=2.

∴点A1到平面AED的距离d=|AA1·n|n=262=263.

例3 如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=π2，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=12.

（1）求四棱锥S-ABCD的体积;

（2）求面SCD和面SAB所成二面角的正切值.

解 （1）（略）

（2）易知AD、AB、AS是两两垂直的直线，故以A为坐标原点，分别以AD、AB、AS为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系O-xyz，则A（0，0，0），D（12，0，0），C（1，1，0），S（0，0，1）.

∴DC=（12，1，0），DS=（-12，0，1）.

设平面SCD的法向量为n=（s，t，1），

由n⊥DC，n⊥DS得

n·DC=（s，t，1）·（12，1，0）=12s+t=0，

n·DS=（s，t，1）·（-12，0，1）=-12s+1=0，

∴s=2，t=-1.

∴n=（2，-1，1），|n|=6.

又AD=（12，0，0）是平面SAB的法向量，

AD·n=1.

∴cos〈AD，n〉=AD·n|AD||n|=112×6=63.

∴tan〈AD，n〉=22.

即面SCD和面SAB所成二面角的正切值等于22.

例4 如图ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱，侧棱长为1，底面边长为2，E是棱BC的中点.

（1）求三棱锥D1-DBC的体积;

（2）证明BD1∥面C1DE;

（3）求面C1DE与面CDE所成二面角的正切值.

解 （1）（2）（略）

（3）以D为原点，分别以DA、DC为x、y轴建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，

则A（2，0，0），C（0，2，0），D（0，0，0），E（1，2，0），C1（0，2，1）.

∴DE=（1，2，0），C1E=（1，0，-1）.

∵面CDE在xOy坐标平面，故其法向量为n1=（0，0，1），设平面C1DE的法向量n2=（s，t，1），由n2⊥DE，n2⊥C1E得n2·DE=（s，t，1）·（1，2，0）=s+2t=0，

n2C1E=（s，t，1）·（1，0，-1）=s-1=0.

∴s=1，t=-12，

∴n2=（1，-12，1），|n2|=32.

n1·n2=（0，0，1）·（1，-12，1）=1，

∴cos〈n1，n2〉=n1·n2n1|n2=132=23

∴tan〈n1，n2〉=52.

即面C1DE与面CDE所成二面角的正切值为52.

参考文献：

[1]韦荣和.立体几何的常见题型及解答方法[J].語数外学习（高中版下旬），2019（06）：31.

[责任编辑：李 璟]