快速巧解材料力学静定梁的约束力和弯曲内力图

吴建强 林远东

摘要：材料力学是高等院校机械、采矿、土木、力学等专业必修的一门专业基础课，在工程领域有着广泛的应用。本文以理论力学静力学为基础，总结出求约束力和画剪力图弯矩图的简便方法，避免了求解繁琐的平衡方程和分段列弯矩方程、剪力方程画内力图的麻烦，从而大大提高运算速度。

关键词：约束力;弯矩图;剪力图

一、引言

要想正确的画出剪力图和弯矩图，对于简支梁、外伸梁和组合梁先要计算约束反力，对于悬臂梁可以不求约束反力，可以从自由端开始作图，对于需要求约束反力的梁，一旦约束反力求解错误，将直接导致后面的求解跟着出错。作者根据自己的解题经验总结出了求解方法，避免用静力学的静力平衡方程的繁琐，方便快捷。

二、求静定梁约束反力的方法

求解静定梁约束反力时，约束力等于

与其反向的力偶和与其同向的力偶差除以两约束间距离。图1所示外伸梁，如果欲求A处约束力，设其方向向上，则该力对B点产生的矩为顺时针方向，那么分子就是逆时针的力偶与顺时针的力偶差，分子则是AB之间的距离。即

由此可见，仅通过简单运算即得约束反力。

三、根据外力画剪力图和弯矩图

材料力学书上介绍的方法基本上都是先列出建立方程和弯矩方程，然后根据方程画出内力图，虽然准确但是麻烦，特别是结构受力比较复杂时，分段多方程多，求解繁琐。下面我们将用作图规律直接由外力画剪力图和弯矩图，这样无论是在学习或者工程中的力学分析都能大大节省时间。

首先介绍作图规律。

剪力图，从左往右作图时，向上的力引起正的剪力，向下的力引起负的剪力。在集中力作用处引起突变，突变值等于该集中力，突变方向与力的方向相同;在均布力作用区为倾斜直线，其斜率等于均布强度q，倾斜方向与力的方向相同;在无力作用区为水平直线;与力偶无关。从右向左作图时，力反向即可。即：向上的力引起负的剪力，向下的力引起正的剪力，在集中力作用处引起突变，突变值等于该集中力，突变方向与力的方向相反;在均布力作用区为倾斜直线，其斜率等于均布强度q，倾斜方向与力的方向相反;在无力作用区为水平直线;与力偶无关。

弯矩图，从左向右作图。向上的力引起正的弯矩，向下的力引起负的弯矩。在集中力作用处出现尖角，在均布力作用区为抛物线，其开口方向与均布力方向相同;在无力作用区为倾斜直线，其斜率等于该截面上的剪力;在集中力偶矩作用处引起突变，突变值等于该集中力偶矩，顺时针转动的力偶引起正的突变，逆时针的力偶引起负的突变。特别要注意，在剪力等于零处，弯矩出现极值。从右向左作图时，力不变，力偶反向。即向上的力引起正的弯矩，向下的力引起负的弯矩。在集中力作用处出现尖角，在均布力作用区为抛物线，其开口方向与均布力方向相反;在无力作用区为倾斜直线，其斜率等于该截面上的剪力;在集中力偶矩作用处引起突变，突变值等于该集中力偶矩，逆时针转动的力偶引起正的突变，顺时针的力偶引起负的突变。

下面通过作图规律来作图1外伸梁的剪力图和弯矩图。

对于剪力图，从左往右，A端受到约束力作用，引起突变，力向上，向上突变，突变值等于该约束力7KN，在AC之间受到均布力作用，剪力图为倾斜直线，其斜率等于均布强度1，力向下，向下倾斜，C点剪力等于A点剪力加上AC段均布力面积，力向下面积为负，力向上面积为正，得到C处剪力为3KN，然后在C处受到向下的集中力2KN，剪力图向下突变2，CD段为均布力，继续向下倾斜，AC段和CD段平行，通过类似计算得到D处剪力为3KN，作剪力图时，D处弯矩不影响，BD段为无力作用区，剪力图成水平直线，B处受向上的约束力，引起突变，继续用作图规律得到完整的剪力图如图2所示。从右往左作图留给读者自行练习。

对于弯矩图，从左往右作图，AC段为向下的均布力，其弯矩图为开口向上的抛物线，C处弯矩等于AC段剪力图的面积，剪力图为正，面积为正，剪力图为负，面积为负。CD段仍然受到向下的均布力，而且在其间有剪力等于零的截面，该处弯矩出现极值20.5KNm，在D处受到集中力偶矩作用，引起突变，突变值等于该集中力偶矩。BD段为无力作用区，为倾斜直线，斜率等于该截面上的剪力，继续根据规律可画出完整弯矩图。

值得注意的是，無论是剪力图还是弯矩图都是封闭图形。

结束语：综上所述，通过总结出来的计算约束力方法和剪力图弯矩图作图规律，可以避免列静力平衡方程，各段的剪力方程和弯矩方程。根据外力直接作图，思路清晰明确，直观具体，使材料力学的解题更加简单方便。

参考文献：

[1]赵淑红。材料力学[M].北京：化学工业出版社，2010.

[2]金江。《材料力学》教材改革初探[J].南通工学院学报（社会科学版），1998（04）

[3]黄开志，郑航太。浅析弯矩内力图的绘制[J].重庆科技学院学报（自然科学版），2009（05）

安徽理工大学重点教学研究项目（2019jyxm075）;理论力学慕课项目号：No.2017mooc117。

（安徽理工大学力学与光电物理学院 安徽淮南 232001）