例谈导数在一点的问题

毕迎鑫 杨应明 陈华平

摘要：函数的导数概念是高等数学课程中的核心概念。关于函数在某一点的求导问题是微积分教学的重点也是难点，也是全国硕士研究生入学考试中的重点内容，为此对导数在一点的问题通过一些例子来进行探讨。

关键词：高等数学;流数术;导数;极限

导数是极限的发展，导数思想正是利用函数在点处临近的变化状态去揭示和把握函数在点处的变化状态，从而深刻揭示了函数的变化率本质。导数概念是微积分学中重要而基本的定义，也是高等数学的核心概念之一，如果能够牢固地理解和掌握导数的定义，会对以后微积分的学习打下扎实的基础。

1.早期导数的概念---“流数术”[1]

大约在1629年，法国数学家费马研究了作曲线的切线和求函数极值的方法，1637年左右，他写一篇手稿《求最大值与最小值的方法》。在作切线时，他构造了差分，发现的因子E就是我们现在所说的导数。

17世纪生产力的发展推动了自然科学和技术的发展，在前人创造性研究的基础上大数学家牛顿、莱布尼茨等从不同的角度开始系统地研究微积分。牛顿的微积分理论被称为“流数术”他称变量为流量称变量的变化率为流数相当于我们今天所说的导数。牛顿的有关“流数术”的实质概括为：在于一个变量的函数而不在于多变量的方程;在于自变量的变化与函数的变化的比的构成，而最终在于决定这个比当变化量趋于零时的极限。

1750年达朗贝尔在为法国科学家院出版的《百科全书》第四版写的“微分”条目中提出了关于导数的一种观点，可以用现代符号简单表示：。1823年，柯西在他的《无穷小分析概论》中定义导数：如果函数在变量x的两个给定的界限之间保持连续，并且我们为这样的变量指定一个包含在这两个不同界限之间的值，那么是使变量得到一个无穷小增量。19世纪60年代以后，魏尔斯特拉斯创造了ε-δ语言，对微积分中出现的各种类型的极限重加表达，导数的定义也就获得了今天常见的形式。

2.函数在某一点处的导数概念[2]

设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量在处有增量时相应地函数取得增量，如果之比当→0 时极限存在，则称函数在点处可导，并称这个极限值为函数 y=f（x）在点处的导数或微商，记为 ，即也可以记作.函数在点处的导数是函数的增量与自变量增量之比的极限，也可以写成或.它是在处的函数值，是一个常数，而不是变数。如果以上式中的极限不存在，则称函数在点处不可导。

3.利用导数的定义求导三步走

第一步，求函数的增量;

第二步，求平均变化率;

第三步，取极限得导数

例1.求函数在处的导数

解：求函数的增量：;

求平均变化率：

取极限得导数：

4.函数在点处可导的条件[3]

理解函数在一点处的导数定义的关键是它包含两层含义即可导条件和导数概念，即存在是函数y=f（x）在处可导的条件。函数在点处的可导应满足三个条件：（1）在点处及其附近有意义;（2）左极及右极限都存在;（3）.因此可以说函数在处可导的充分必要条件是左导数和右导数都存在且相等。

5.导数在一点常见的几种问题

函数在某一点可导是在某一点连续的充分的条件;函数在某一点连续是函数在某一点可导的必要条件，但不是充分条件，也就是函数某一点连续不能推出它在该点可导，但函数某一点不连续可推出它在该点一定不可导。对于分段函数在分段点的导数，必须要用函数在一点的导数定义来求以及函数在某一点可导与在该点处的曲线切线的关系。

5.1函数在点的导数与的关系

当存在时，一定存在;反之，当不存在时，却不一定不存在。

如例2对于函数，有显然不存在，但是由导数的定义可知：

=

存在。因此，当不存在时，不一定不存在，即可能有。

5.2函数在点处可导，是否在点的某一邻域内每一点可导函数在点处可导是个局部概念，但在点的邻域内不一定处处可导。

如例4，由导数定义可知，而函数在任意都不连续，从而不可导。由此可知，一个函数可能仅仅在一点可导。

又如例5如果为偶函数，且存在，证明：

分析：由偶函数定义知：，该式是关于的恒等式，恒等式两边可以关于求导：这个式中不能令代入推出，而是因为已知条件中仅仅知道在点可导，但在的某个小邻域内函数是否可导并不知道，所以不能用对恒等式求导的方法来证明，而只能用导数的定义来证明。

证明：由导数的定义可知：，

=

因为在点可导，有

故即有

5.4讨论分段函数在分断点处的可导性，要用导数定义

根据函数在点处导数存在的充要条件是来判断。

判断分段函数在分段点处导数是否存在，一般步骤如下：

（1）考察是否存在;是否存在。

（2）当且仅当存在并且相等时在处可导，否则在处不可导。

例6（2019，考研题）已知函数求

解：当时，=

当时，

由于，则不存在。

5.5用定义来求函数在某点处的导数

如果已知的函数是个多项式或是一个比较复杂的函数来求它在某一点的导数式，可以使用导数的定义求，简化运算的步骤。

如例7（2012，考研题）设函數

其中为正整数，求

分析：本题中是关于的次多项式函数，可以展开后用导数公式求出导函数，再代入，但非常麻烦，应用导数得定义可以简洁地求出结果。

解：注意到，根据导数的定义有

=

=

例8

分析：用导数公式求出导函数，再代入，计算量有点大，但用导数的定义来求就比较简单。

解：设，

则，

且

=

所以

5.6用函数在点处可导，来求与在点导数的定义有关的极限

如果一个函数在一点可导，那么这个函数在这一点的极限值就存在，利用这个结论来求函数在某点的极限，这是求极限的另一种方法。

例9（2011，考研题）已知在处可导，且=0，求

分析：由在处可导且=0，可知

解：把所求的极限先拆项再用导数定义来求

在处可导且=0，可知

所以

例10已知求[6]

解：由，可知

所以=

=

5.7与在点导数定义有关的极限存在，函数在点处是否可导函数在某一点的极限存在，不一定在这一点可导。

如例11（2007，考研题）设函数在处连续，且

（1）若存在，则是否存在？

（2）若存在，则是否存在？

解：由函数在处连续，且可知=0

（1）=

虽然存在，但不能保证一定存在，故不一定存在。如，虽然=存在，但是不存在。

（2）==而存在，所以存在。

5.8用函数在点处可导，来求参数

例12[6]已知分段函数在处可导，求a，b的值。

分析：根据可导与连续的关系，可知函数在一点可导则必连续。由导数的定义和连续的定义可以求得参数a，b的值。

解：函数在处可导则必连续，而在处的左、右极限分别为

，

所以根据函数连续性的定义，应有

再由在处可导可知，它在该点的左、右极限存在且相等，而

，

，由于

所以，即的值分别为0，

5.9利用导数在某点处的几何意义，来求曲线在该点处的切线方程和法线方程

例13[7]求三次曲线在点（1，2）处的切线方程和法线方程。

分析：已知一点求直线方程，根据直线的点斜式方程，需要知道直线的斜率。由导数的几何意义可以求得切线的斜率。

解：由导数的几何意义可知，切线的斜率为函数在该点的导数值，即

，即曲线在点（1，2）处的切线斜率为3.由直线的点斜式方程，得到切线方程为，即;

又曲线在点（1，2）处的法线斜率为，所以，法线方程为

，即

综上所述：高等数学中函数导数的由来可是很深远的，它有两大背景，一是几何背景，二是物理背景。几何背景是过曲线上一点作该点的切线，要作该点的切线就必须要确定该点处的斜率，怎样才能把该点的斜率清楚的描述出来呢？就用到了极限，进而得到该点的斜率，引申为函数导数。物理背景就是研究物理运动的速度，研究方法与切线斜率是一样的。在自然科学和工程技术中，还有许多问题的解决，如电流、角速度、线密度等等，都归结为求函数的增量与自变量增量之比的极限，如果抛开这些量的具体意义，抓住它们在数量关系上的实质，就可以引出导数的概念，并要理解并牢固的掌握导数的定义，明确导数就是函数的变化率，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，并能灵活应用导数定义的变形，尽管增量的形式是多种多樣的，但不论选择哪种形式，必须选择相对应的形式。掌握函数在某一点可导必连续，且函数连续是函数可导的必要条件，但不是充分条件，还有它的逆否命题，为以后学习微分中值定理、泰勒公式、定积分中值定理、还有级数打下坚实的基础。

参考文献：

[1]莫里斯.克莱因著，张里京、张锦炎、江泽涵译.《古今数学思想》第四卷.上海科学技术出版社.2002.

[2]同济大学数学系编.“十二五”普通高等教育本科国家级规划教材：高等数学（上册）（第七版）.高等教育出版社.2017：73.

[3]同济大学数学系编.“十二五”普通高等教育本科国家级规划教材：高等数学（上册）（第七版）.高等教育出版社.2017：80.

[4]张卓奎，王金金主编.普通高等教育“十三五”规划教材：高等数学（上册）（第3版）.北京邮电大学出版社.2017：98.

[5]张卓奎，王金金主编.普通高等教育“十三五”规划教材：高等数学（上册）（第3版）.北京邮电大学出版社.2017：70.

[6]张卓奎，王金金主编.普通高等教育“十三五”规划教材：高等数学（上册）（第3版）.北京邮电大学出版社.2017：69-70.

[7]张卓奎，王金金主编.普通高等教育“十三五”规划教材：高等数学（上册）（第3版）.北京邮电大学出版社.2017：67.

基金项目：贵州省数学与应用数学专业卓越教师人才培养计划（编号：GZSZY10977201401）;贵州省高等学校教学质量与教学改革项目（编号：GZSJG10977201603）;六盘水师范学院第六批重点学科项目（LPSSYZDPYXK201709）。

作者简介：毕迎鑫（1968-），女，山东曲阜人，数学与信息工程学院副教授，主要从事高等数学方面的研究。