圆锥曲线焦点弦的一个统一性质

山东省泰安市宁阳县第一中学(271400) 刘才华

本文旨在给出圆锥曲线焦点弦的一个统一性质,为此,我们首先陈述并证明三个命题.

命题1点F为椭圆=1(a＞b＞0) 的左焦点,P为椭圆的左准线与x轴的交点,过P作直线交椭圆于点A,B,过F作直线AB的垂线交椭圆于点C,D,椭圆的离心率为e,焦点到相应准线的距离为p=则

证明由题意得F(-c,0),设直线AB的倾斜角为θ,直线AB的参数方程为代入b2x2+a2y2=a2b2并整理得

则|PA|·|PB|=

(1)若θ为0或锐角,则直线CD的倾斜角为直线CD的方程为即代入b2x2+a2y2=a2b2并整理 得(a2cos2θ+b2sin2θ)t2+2b2ctsinθ-b4=0,则|FC|·|FD|=

(2)若θ为钝角,则直线CD的倾斜角为θ-直线CD的方程为即代入b2x2+a2y2=a2b2并整理得

则

由(1)和(2)得|FC|·|FD|=于是故

命题2点F为双曲线=1(a,b＞0)的左焦点,P为双曲线的左准线与x轴的交点,过P作直线交双曲线于点A,B,过F作直线AB的垂线交双曲线于点C,D,双曲线的离心率为焦点到相应准线的距离为则

证明由题意得F(-c,0),设直线AB的倾斜角为θ,直线AB的参数方程为代入b2x2-a2y2=a2b2并整理得

则|PA|·|PB|=

(1)若θ为0或锐角,则直线CD的倾斜角为直线CD的方程为即代入b2x2-a2y2=a2b2并整理 得(a2cos2θ-b2sin2θ)t2-2b2ctsinθ-b4=0,则

(2)若θ为钝角,则直线CD的倾斜角为θ-直线CD的方程为即代入b2x2-a2y2=a2b2并整理 得(a2cos2θ-b2sin2θ)t2+2b2ctsinθ-b4=0,则

由(1)和(2)得|FC|·|FD|=于是

命题3点F为抛物线y2=2px(p＞0) 的焦点,P为抛物线的准线与x轴的交点,过P作直线交抛物线于点A,B,过F作直线AB的垂线交抛物线于点C,D,则

证明由题意得设直线AB的倾斜角为θ,直线AB的参数方程为代入y2=2px并整理得t2sin2θ-2ptcosθ+p2=0,则

(1)若θ为锐角,则直线CD的倾(斜角为)θ+直线CD的方程为即代入y2=2px并整理得t2cos2θ+2ptsinθ-p2=0,则|FC|·|FD|=

(2)若θ为钝角,则直线CD的倾斜角为θ-直线CD的方程为即代入y2=2px并整理得t2cos2θ-2ptsinθ-p2=0,则

由(1)和(2)得|FC|·|FD|=于是故

由命题1、2、3,我们便得到圆锥曲线焦点弦的一个统一的.

性质点F为焦点在x轴上的圆锥曲线Γ 的焦点,P为Γ 的对应准线与x轴的交点,过P作直线交Γ 于点A,B,过F作直线AB的垂线交Γ 于点C,D,Γ 的离心率为焦点到相应准线的距离为p,则