统计学实验课的教学改革探索——基于小型建模课题的实证教学

葛旸 潘鑫 李纯

摘  要：在统计学课程的教学中，实验课兼具理论性和实践性，对于科技创新人才的培养有着重要意义。我们从科研反哺教学的理念出发，对统计学的知识结构、科研工作者的内在素质和科学探索的自然过程进行再思考，提出了一套基于小型建模课题的实验课教学方案和相应的学习评价体系，并通过实证教学对课程改革的效果进行了分析。

关键词：统计学实验课;教学改革;小型建模课题;实证教学;科研反哺教学

中图分类号：G642       文献标志码：A         文章编号：2096-000X（2020）25-0128-06

Abstract： In the teaching of statistics， experiment course is both theoretical and practical， which is of great significance for the cultivation of innovative scientists and technicians. Starting from the view of scientific research back feeding teaching， we propose an experimental teaching scheme based on mini modeling task and corresponding evaluation system by introspection on the knowledge structure of statistics， the inner quality of scientific researchers and the natural process of scientific exploration. The effect of course reform is analysed through empirical teaching.

Keywords： statistical experiment course; teaching reform; mini modeling task; empirical teaching; scientific research back feeding teaching

一、研究背景

随着数字化时代的到来，人类的一切发现和创造都始于对数据的学习。因此，高校统计学的学科建设和人才培养也日益受到重视。现今美国、日本以及欧洲发达国家高校的统计学教育非常注重实践能力和创新能力的培养，并通过校企合作为学生提供了大量参与实践活动的机会。我国的统计教育曾受前苏联影响很深，偏重数学的逻辑性而缺少实践环节，授课和考试方式单一，难以激发学生的兴趣和学习的主动性。早年为工科和经济专业开设的一些应用统计课程以介绍软件操作为主，而对相应理论的阐述不够，在课程学习后学生往往只会利用统计软件对原始数据做机械化的处理，而不会运用统计学的思想分析和解决问题。

姜伯驹院士在《大学生的数学修养和数学教学改革问题》中指出[1]，数学是一种分析问题、解决问题的实践活动，与打猎一样是活的本领，转换观点、选择方法、熟悉软件、检验结果、发现毛病、寻找原因等等环节，只有亲身经历才能学到手。现今实验课程已被广泛认为是学生完成知识重构并充分内化知识的有效途径，在统计学方面也出现了很多相关的教学研究。吴启富，尹居良等[2，3]认为应科学界定统计学各课程的讲授内容，将统计思想的讲授与统计软件的应用有机结合，并通过案例教学、精心布置上机作业和课后作业等教学手段全面提升学生的综合能力。朱连华[4]提出应重视课程前沿的介绍，并从实际问题出发引入统计分析概念。张爱华等[5]提出将数学建模思想引入到课程当中，通过学生自主探究学习提高学生发现问题和解决问题的能力，同时让学生以团队的形式共同完成研究论文或報告，提高学生的团队合作能力。肖枝洪等[6]提出快乐教学的理念，通过为学生提供相关课外阅读材料、吸纳学生参与教师科研活动等方式激发学生的求知欲，并使学生学会利用图书馆和网络资源进行独立学习。徐尔等[7]对基于慕课的线上线下混合式教学进行了实践，提出在各个教学环节中注重“以学生为中心”的理念。王荣海等[8]对集中形式实验课的教学组织进行了详细的探讨，包括实验前的知识准备、选题的难度、学生的分组、教师的答疑辅导、答辩、结果评价等方面。

当代科学技术发展日新月异，培养具备自主研究和研发能力的创新型人才变得越发重要。教育部2019发布的《教育部关于深化本科教育教学改革全面提高人才培养质量的意见》中指出，应推动科研反哺教学，强化科研育人功能，推动高校及时把最新科研成果转化为教学内容，激发学生专业学习兴趣。我们充分汲取和借鉴实验课的现有教研成果，结合自身从事数据科学研究的经验，从统计学的知识结构、科研工作者的内在素质和科学探索的自然过程三方面出发设计出一套基于小型建模课题的实验课教学方案，通过天津职业技术师范大学数学专业本科三年级学生课程“统计软件应用设计”（后简称“统计软件”）开展实践，并对新方案的教学效果进行了全面的分析。

二、教学方案的提出依据和主要内容

（一）知识结构的再划分

在过去几十年中，我国统计学专业的课程设置经历了以部门统计为主到以统计方法为主的变化，逐步与国际接轨。然而，教与学中的矛盾正在发生新的变化。很多企业和研究所的反馈显示，进入工作岗位后的高校毕业生并不具备令人满意的研发和应用能力，包括很多在校成绩优异的学生;计算机及其有关软件提供了越来越多更加直观的图形表达和分析方法，使得许多原先教科书中重要的内容有了多角度更易于被理解的辅助和替代，在专业课中讲授这些内容已变得无足轻重;大量分享知识和技术网络交流平台的出现使学生有更多途径获得书籍、论文、学习笔记、教学视频、程序代码等资源，网络就像一本实时更新的大辞典，随时可以依需查阅和扩充学习;新兴起以学生为主体，主张学生“在做中学”的翻转课堂教学模式[9]也冲击着以往过于强调“分门别类”的课程划分。

统计学中的各种方法如回归分析、多元统计、隨机过程、时间序列、统计计算、贝叶斯统计等，它们的内容并不是互相分离的，而是存在很多交集。如多元回归分析同时属于回归分析和多元统计;再如统计计算中的Gibbs抽样算法、EM算法都是以贝叶斯统计为理论基础的。另一方面，统计学与优化理论、数值计算、物理学等其他数理分支也越发呈现出紧密的联系。如统计学中的回归、优化理论中的拟合、数值计算中的函数逼近，虽然条件叙述和符号记法小有差别，但实质是相同的概念;再如很多非确定性的优化问题是通过概率模型来表述的，而统计模型中的参数估计值经常需要使用数值计算方法进行求解。按照统计方法编排的课程之间包含很多重复的内容，增加了学生的学习负担，甚至学生在选课时经常由于时间冲突不得不放弃一些课程。并且，学生在课程学习后往往只能求解各门课程教材中的典型题目，而在面对实际问题时不能灵活运用学过的统计方法来思考。真正指引科学工作的不是统计方法，而是在观察和探索问题过程中产生的统计思想。我们认为，可以提出一种更简约的知识结构，并以此指导统计学的实验教学。

按照统计思想进行划分，统计学方法均可归入“样本分析”和“情境模拟”两类。样本分析即基于实际观测到的样本进行统计建模，根据样本中是否含有响应变量可进一步分为以预测响应变量为目标的有监督学习和以数据降维为目标的无监督学习。情境模拟不从实际中收集样本，而是直接构造一个与所研究问题相关联的概率模型并在计算机上生成仿真样本，通过重复模拟实验得到模型的统计特征，最终给出原问题解的近似值。所有的蒙特卡罗方法和启发式算法均属于情境模拟。

根据统计思想对统计学的知识结构进行重新划分，有利于为学生阐明实际问题和抽象模型之间的联系，一旦他们理解了问题，将很自然地找到分析解决问题的方法。因此，我们在实验课的准备阶段和课题设置上均以引导学生建立统计思想、拓展统计思维为出发点，而对于解决问题的方法和步骤不在题目中加以任何提示或限定。我们给出两个课题作为示例（见下页）。

（二）科研素质的培养

实验课教学不仅仅要使学生掌握知识和技能，也要培养学生的科研素质。一个优秀的科学工作者应诚实，严谨，受兴趣和好奇心驱使，还应具备独立思考能力、交流协作能力和团队责任感，这些品质对其职业生涯发展影响深远。

在现今国内高校教育中，兴趣和思维独立性的培养被认为是一件困难的事。过于注重结果性评价的考核体系使学习的过程背负了太多和学习本身无关的功利和压力，学生普遍希望从教师的讲授中得到统一的、不会被扣分的正确答案，而不是通过主动探索去获得属于自己的个性化答案。在学习中进步速度稍慢或暂时遇到瓶颈的学生由于成绩上的落后，更倾向于逐渐失去表达自己的信心和独立思考的习惯。

美国芝加哥大学教育系教授Bloom在他的掌握学习理论中指出[10]，大多数学生能够掌握教师所教授的事物，教学的任务就是要找到使学生掌握所学学科的手段，作为教育者要改变传统中认为学生的学业成绩呈正态分布的思想。为使每个学生的兴趣和能力得到更加充分的发展，我们在课堂教学互动、课下提问和探讨、答辩评审等各教学环节中充分发现学生的优点并给予肯定，对学生进行综合性的过程评价，并和学生的课题报告成绩进行加权计算得到总成绩。在过程评价中，教师不只关注于学生观点、分析和计算的正确性，一个新颖的视角，或交流和工作中所表现出积极诚恳的态度、品格、思想和情感，均可以作为采分点。由于总成绩的差别变得很小，基础不好的学生也敢于按照自己的想法去完成课题;结课后教师会将包含各项过程和结果评价的计分表透明公开给全体学生，使他们更加准确地了解到自己的学习情况。

为锻炼学生的团队协作能力，我们根据学号将学生进行分组，每三人一组完成指定编号的课题。在评价答辩和报告材料两项小组共同完成的工作时，各组内成员将被给予相同的成绩。经过适当调整，没有一组成员都是以往成绩优秀的学生。课题使用到很多新学习的知识，且需在五天内完成，即使能力较强的学生也难以一个人承担课题的全部工作。于是，和之前可能没有配合经验的队友尽快开展讨论、团结协作，对于课题的完成质量非常关键。

为锻炼学生的思考独立性，在学生完成课题期间我们采用一种异步和高度自由化的方式为学生答疑——各组的进展是不同步且没有教师干预的;只有经过思考提出问题的学生才能得到教师针对问题的回答。即使一些学生表示无从下手，教师也鼓励他们依靠自己的力量分析题目和寻找思路，在学生提出问题后再给予指导。

为使学生具备严谨的工作态度，学生提交课题报告时须一并提交程序源代码，教师将逐一测试程序中是否存在错误导致不能成功运行，或不能实现编写者期望的功能，并在课题反馈中做出指正。

最后，为培养学生的诚信意识，我们高度重视课程评价的公平性和严肃性。所有实验课题均取材自教师的阅读和研究，在保证难度适宜的前提下经过了充分的组合与扩展;在使用开源数据集时，数据集的名称也将改换，学生可以借助网络搜索与问题相关的材料和工具，但无法直接找到问题的解法和答案。教师发布题目前要求各组须对自己的工作做好保密。此外，教师挑选范例科学论文带着学生进行赏析，促使学生在提升美学追求的过程中自发提高诚信意识。

（三）科学探索的自然过程

作为一门应用学科，学习统计的最终目标是学以致用。从潜藏在事物纷繁复杂表象下揭示出井然有序的本质规律绝非易事，因此有效的教学不能脱离对真实发现和应用过程的模拟。我们将科学探索的自然过程用图1表示。

小型课题研究能够帮助学生加深对统计理论的理解，同时它也是一份正式科研工作的微缩。在课题完成时，我们要求提交的材料包括课题报告、答辩PPT、程序源代码和程序说明文件，并对每项材料提出了细致的要求。学生在整理和总结材料的过程中可以学习到如何独立开展一项完整的研究工作，这也将为毕业论文的写作打下基础。我们的课题报告要求详见表1。

三、实证教学研究

（一）修课群体和课程安排

我们以天津职业技术师范大学数学专业17级的102名本科生为研究对象，修课时学生处于三年级第二学期，课程在学期结束前的两周时间内集中完成。第一周为实验准备阶段，这一周教师从R软件的使用和数据的描述性分析开始，按照新的知识结构划分对统计学的经典方法和前沿应用进行系统的讲授，每部分内容均从案例出发，由统计思想自然引出各种具体的统计方法，然后讲解实现方法的程序设计思路。基于同类统计思想、以往教材中独立成章的统计方法被合理地归并，精简授课时间的同时便于学生类比学习。我们的教学框架详见表2。

第二周为课题工作阶段，教师发布题目，各组学生用五天时间完成课题，期间须对自己的工作做好保密。学生遇到问题可随时与教师交流，但在没有问题提出时，教师不会主动干预学生的课题工作。周六进行课题答辩，一组学生答辩过程中其他学生不被许可旁听。答辩后学生有一天时间对报告和程序做修改和补充，并在周日晚提交所有材料，之后各组可以自由交流。在教师完成评审、公布成绩后将报告和程序中的问题反馈给学生，同时与学生进行深度交流，了解他们本次课程的体验和收获。

在课题工作中我们并不限定必须使用R软件，学生可以选择任何更加熟悉的编程语言来完成课题。由于COVID-19疫情原因，所有授课、答疑、答辩和反馈都是在线上进行的，教师讲授环节我们使用带有回放功能的腾讯课堂，答辩和反馈环节使用便于多人交流的腾讯会议，答疑探讨使用生活化的即时通信软件QQ和微信。

（二）过程提问分析

我们对学生在完成课题过程中向教师提出的问题进行统计，问题涉及以下几个方面：题目的理解、统计方法的选择和应用、编程技术性问题、程序运行结果的含义、报告的书写范式，问题数量分别占总问题数量的30.2%，31.7%，15.9%，17.5%和4.8%。

前两类问题占到了近2/3的比例，大部分学生在构建解题思路的阶段遇到了较大的困难，他们往往试图从教材和网络中寻找类似题目的解法直接进行套用，而不是从对课题本身的分析出发，经过抽象和提炼将问题转化为数学模型再有针对性地设计解法。如示例题目2的系统复杂性低于教師之前讲授排队问题的模拟案例，但前期很多学生表示该题目和课上讲授的案例都不同，找不到思路。

很多学生不能对程序结果做出准确的解读，导致他们难以发现数据中蕴藏的规律或使用分析方法中存在的偏误。一些小组表示他们使用相当多的时间对概率论、数理统计、随机模拟等相关知识进行了再次学习和理解，这些小组的进步速度很快，最终找到的解题方法也更加合理。

关于编程的问题涉及数据存储、控制流、向量运算、符号运算、函数定义方式、工具箱函数等。从提问中发现，虽然经过了C++、数据结构和Matlab课程的系统学习，相当一部分学生的编程基础仍不够扎实，缺乏灵活运用的能力。

此外，经常能够提出问题的小组课题完成质量整体优于很少和教师交流的小组。

（三）课题报告完成情况分析

教师评价报告材料的主要依据包括：能够从问题出发选择适于分析和解决问题的方法;能够对程序得到的结果进行合理的分析与挖掘;程序编写无误，能够准确实现所期望的功能;程序设计简洁，条理清晰，注释完备，计算效率高;研究报告语言表述清晰，结构和内容完整，可读性好;报告叙述严谨，结论均有数据分析结果作为支撑;善于使用图表增强论证和结果的可视化。达到上述各项要求的小组比例分别为67.6%，61.8%，82.4%，50%，70.1%，50%和44.1%。

我们将报告材料中的一些典型错误列举如下：

1. 在分析包含自变量和响应变量的数据集时，不能基于问题和数据的特点适当的选用模型。如示例题目1第二问，有很多组使用普通的线性回归进行分析，直到报告完成仍没有意识到这是一个二分类问题。

2. 未认识到一元分析与多元分析的本质区别。有些组将多元问题拆解成为若干个一元问题来处理，导致数据包含的信息没有得到充分挖掘;也有些组使用了多元模型，但没有进行变量选择。这些错误都会导致无法得到准确的结论。

3. 在评价回归或分类模型的预测能力时，未考虑模型的过拟合问题。如示例题目1第三问，很多组没有将数据集拆分为训练集和测试集并交叉验证模型预测的稳健性。

4. 在进行模拟时未考虑计算机的随机数生成机制。有些组在循环中逐个生成随机数而不是一次性生成一段随机序列，致使程序运行耗时较长。

5. 面对模拟结果呈现出的随机性，不知如何从中获得统计规律。如示例题目2，很多组没有认识到多次模拟结果的平均值一定收敛于其数学期望，且该平均值的分布一定趋于正态分布，这是由大数定律和中心极限定理保证的，由此可以得到统计特征的估计值和置信区间。

显然，上述问题均反映出学生对统计学中一些基本、但又十分重要的概念和思想缺乏深度认知。

由于课题工作期间禁止组间交流，同一题目各组的建模思路均有一定的差异，也出现了一些虽不成熟但很有特点的解法。如示例题目2，一组学生通过对各时间变量求数学期望将随机问题约简为确定性问题。在反馈会中教师一方面对学生的想法给予了鼓励，同时指出约化前后的问题并不具有等价性，忽略系统的随机性是以降低分析结果的准确性为代价的。

我们将学生的实验课表现与他们在专业课“概率论与数理统计”（后简称“概率统计”）中的期末考试成绩进行了对比。由于实验课的过程评价具有较强的主观性，在对比分析中我们使用课题报告成绩衡量学生的实验课表现，并将成绩分为优（≥90）、良（85到90之间）、中（<85）三个类别。

计算出本次实验课各小组概率统计成绩的组内平均值，并绘出分布直方图如图2。虽然分组时优秀生被分散在不同组中，各组的理论课成绩仍具有差异性。按实验课成绩将学生分为三类，绘出各类学生概率统计成绩分布的箱线图如图3。由图可见，实验课取得优秀成绩学生的理论课考试成绩并没有明显的优势。

我们从两个视角对上述统计结果进行解释。首先，理论课考试成绩反映的是个人学习水平，而分组实验课题需要更多的交流与配合，更考查综合能力，这使得更多理论课学习不突出的学生也有了均等的机会在团队工作中做出贡献，通过相互帮助和协作高质量地完成课题。另一方面，理论课成绩不一定能够真正体现学生对概率统计知识的掌握程度。依靠机械记忆公式、定理和常见题型也能完成理论课的考试题目，但在课题实践中一切对理论认知的不清晰、不系统和不深刻都会显现出来。

（四）学生的课后反馈

我们对学生提交报告材料后与教师的交流进行了整理。很多学生表示本次课题工作对于他们是一次全新的挑战，需要很多独立和主動的思考。经历了无从下手的迷茫，到有了从头至尾完整的思路并通过团队协作完成了课题，统计建模的能力和信心都得到了锻炼和提升，回想之前每一步都在教师安排下的实验课模式反而使自己的思维受到了限制，他们更愿意和教师进行平等的交流与探讨。也有很多学生表示在实验课的课堂教学和课题工作中他们发现了自己在统计理论、程序设计、书面表达、工作严谨性等方面的漏洞和不足，更加明确了今后的努力方向。

四、结束语

统计学实验课是数学、工程、经管等学科实践教学的重要组成部分，在数据科学蓬勃发展的今天，这类课程的建设与完善对于科技创新人才的培养具有关键意义。教学实证充分说明本文所提出的实验课方案能够取得成功的教学效果。大学教学是大班教育，加之现今很多实验课程是在线上开展的，教师很难充分了解每一个学生的学习情况。教师除了完成教学任务，更要重视激发学生的学习兴趣和学习动力，使学生主动学习，积极和教师交流。统计学实验课又是一门开放式的课程，从实验课题的设计到课题报告的评价都需要教师具备广泛的知识面和扎实的专业能力，才能给予学生客观的评价和全面的指导。教师同样要有求学的渴望，跟上科学技术前沿，加强自身能力训练，不断充实和更新自己。

参考文献：

[1]姜伯驹.大学生的数学修养和数学教学改革问题[J].教学与教材研究，1995（3）：3-14.

[2]吴启富.中国统计学课程建设发展沿革及存在问题[J].统计与决策，2012（3）：48-50.

[3]尹居良，王斌会.《数据分析与统计计算》课程设计与教学探讨[J].科教文汇，2008，10（1）：72-73.

[4]朱连华.统计分析软件应用课程教学研究与实践[J].中国科教创新导刊，2012（29）：36，38.

[5]张爱华，杨冬香.数学建模思想融入“概率论与数理统计”的教学改革研究[J].科教文汇，2019，3（2）：80-81.

[6]肖枝洪，郭明月.研究生多元统计分析课程教学的改革与实践[J].高等理科教育，2009（1）：100-103.

[7]徐尔，赵鲁涛，李娜，等.概率论与数理统计“金课”建设与教学改革——基于慕课的混合式教学模式的探索与实践[J].高等理科教育，2020（2）：116-123.

[8]王荣海，曾玉珠，廖作斌.基于集中形式的软件工程课程设计[J].计算机教育，2010（17）：96-98.

[9]陈晓菲.翻转课堂教学模式的研究[D].武汉：华中师范大学，2014.

[10]Bloom BS.教育评价[M].邱渊，等，译.上海：华东师范大学出版社，1987.