基于L0范数和联合全变分的图像去模糊

卢 鹏，余 勤

(四川大学 电气工程学院，四川 成都 610065)

0 引 言

图像在成像过程中由于受到散焦、大气湍流及相对运动等各种干扰因素的作用，使得最终得到的图像质量严重退化。图像退化降质过程可用数学表达式表示如下

f=k⊗x+n

(1)

式中：k为模糊核，n为附加的噪声，⊗表示卷积运算，x为输入的原始清晰图像，f是降质图像。图像去模糊依据模糊核类型是否已知划分为盲去模糊和非盲去模糊，本文用不同的方法对这两方面分别进行了研究。图像非盲去模糊本质上是一个病态逆问题，目前比较常用的非盲去模糊方法是基于正则化约束，即通过添加正则化约束项的方法来最小化目标函数。图像盲去模糊的发展主要集中在模糊核估计方法的改变，目前，许多图像去模糊算法对模糊核的估计都依据自然图像的先验知识如稀疏、平滑等特性。然而这些图像先验知识对于文本图像的去模糊效果并不好，于是J.Pan等[1]提出了基于L0范数正则化强度和梯度先验的文本图像去模糊，并将其拓展到包含文本和低亮度自然图像的去模糊。

在图像非盲去模糊方面，综合利用L0范数和非局部全变分(NLTV)[2]的优点，提出了一种基于以上两种正则化约束的图像非盲去模糊模型，相较于单一的正则化约束，该模型能更好地恢复图像细节；在图像盲去模糊方面，结合J.Pan等提出的文本图像盲去模糊方法和联合全变分方法，对图像进行了更为精细的复原，有效减少了阶梯效应和伪影。

1 基于L0正则化先验和NLTV的非盲去模糊

1.1 L0正则化先验

L0正则化先验包含强度和梯度先验知识，图像的强度和梯度值都会因造成模糊的因素发生较大的改变，鉴于此可考虑将图像的强度和梯度特征作为正则化先验约束对模糊图像进行去模糊处理。综上，基于L0正则化强度和梯度先验的模型可表示如下

(2)

1.2 图像非盲去模糊模型构造与求解

利用全局梯度提取法(GGES)将退化后的图像分解为平滑、边缘和纹理3个部分，将边缘和平滑区域设为xp，纹理区设为xw，将上文所涉及的先验知识和NLTV均作为正则化项对目标函数进行约束，构造得到的模型如下

(3)

(4)

式中:第一项为保真项，α、β均为权重系数，w函数表示图像块间的相似性权重，其取值为0到1之间。对式(3)的求解，可将其转化为以下两个子问题

(5)

(6)

在对式(5)求解时，需保持xw不变，此时对式(5)求解便转化成了对包含L0范数的式子求最优解，由于L0范数的求解是一个典型的非凸问题，借助半二次分解方法，对强度和梯度先验部分分别添加一个辅助变量来求解，可表示如下

(7)

式中：I和g分别为和强度、梯度先验相关的变量，当λ、γ趋近于无穷大时，对于式(7)的求解可通过固定其它变量，对xp、I和g进行交替求解。最终可得对xp的求解结果如下式

(8)

(9)

在给定xp的条件下，对I、g的求解结果如下式所示

(10)

(11)

(12)

第二年，表姐生下李峤汝。秋里，喜上加喜，遂平全县丰收。有人说，老天爷还算有眼啊，打了咱一耳光又给了个糖吃。

(13)

对上式采用交替方向乘子法求解如下：

(1)固定a和t1,对xw求解

(14)

因为上式可微，利用上式对xw求导可得

(15)

式中：divd(·)表示非局部的散度算子，Δd表示非局部拉普拉斯算子。为快速求解，可将其转换到频域利用快速傅里叶变换进行求解。

(2)固定xw和t1，用软阈值算法对a求解

(16)

(3)固定xw和a,t1按如下方式更新

(17)

上述对NLTV约束部分xw的求解，现有算法已经较为成熟，只需输入对应参数即可完成求解，但由于该方法需要对图像进行分块处理，所以计算量较大，程序运行时间较长。上述图像非盲去模糊方法可总结见表1。

2 基于L0正则化先验和联合全变分的盲去模糊

2.1 基于L0正则化先验约束模糊核估计

表1 基于L0范数和NLTV图像非盲去模糊算法

(18)

对上式的求解，同样可将其分解为以下两个子问题

(19)

(20)

对式(19)的求解同非盲去模糊方法，对式(20)的求解，由于其满足快速傅里叶变换求解条件，可利用文献[3]中的方法对模糊核进行快速估计，对模糊核k的估计过程采用的是一种由粗略到精细预估的图像金字塔的方式，在得到k后，需对其进行归一化处理。通过上述一系列的求解，可得到对模糊核k的估计以及潜在图像的输出。

2.2 联合全变分模型构造与求解

图像非盲去模糊方法[2,4]经过长时间的发展,已经有很多成果可以加以利用，在基于正则化约束的求解方法中，常用的正则化方法有全变分(TV)、分数阶全变分(FOTV)和非局部全变分(NLTV)等，为减少阶梯效应同时更多地保留图像的细节信息，采用FOTV和NLTV联合全变分对预处理图像进行进一步的去模糊处理。对预处理图像先采用GGES算法，将其分解为平滑区和纹理区，再用FOTV和NLTV分别约束分解得到的平滑区和纹理区，建立联合全变分非盲去模糊模型，可表示如下

(21)

(22)

对式(22)中xs部分采用交替方向乘子法，求解方法同1.2中式(13)，最终求得的结果如下

(23)

(24)

表2 基于L0范数和联合全变分盲去模糊算法

3 实 验

本文实验所用计算机处理器为Intel-8100(3.60 GHZ),RAM为8 GB，实验基于Matlab R2016a完成。实验相关参数设置如下：β=4e-3、σ=1、τ=2，实验选取了4幅大小为512(512像素的图像，选用了和文献[4]相同的4种模糊核。实验结果就图像非盲去模糊和图像盲去模糊两方面分别进行了展示。在图像非盲去模糊方面，采用了非盲去模糊效果较好的FTVd[4]、TVd[4]以及FOTV[5]方法和本文方法进行了对比，实验效果如图1-图3所示。

图1 baboon对比实验效果

图2 lax对比实验效果

图3 lax细节

由图1-图3可以看出，本文算法在图像细节和边缘部分有较好的效果，能使恢复出的图像更接近真实图像，体现出良好的视觉效果，如图3中细节放大图的飞机轮廓和轨迹细节部分。

为更客观地展现本文方法的有效性，采用PSNR作为性能指标对所选图像在两种噪声下分别进行了实验，结果见表3、表4。

由表中数据可以看出，相比于对比算法，本文算法对于在附加噪声的影响下仍取得了较好的去模糊效果，对于大多数图像，本文都有最高的PSNR值，体现了算法对于噪声的鲁棒性，进一步说明了本文算法的有效性。对于纹理细节较多的baboon图像，由于纹理区域和平滑区域交叉严重，不利于图像分区，导致结果并非最优。

表3 BSNR=40 dB时各算法非盲去模糊对比

表4 BSNR=30 dB时各算法非盲去模糊对比

在图像盲去模糊方面，为体现本文算法的有效性，和J.Pan等提出的文本图像去模糊算法、新提出的基于L0梯度先验图像盲去模糊算法进行了对比，实验结果图4、图5所示。

图4 文本图像实验效果对比

图5 自然图像实验效果对比

从以上两组图像的对比中可以看出，无论是文本图像还是自然图像，本文方法相比两种对比算法，盲去模糊效果更好，复原出的图像锐化度更高，说明了本文算法采用的联合全变分方法确实能保留更多的细节信息同时很好地去除了伪影。

为更为客观地体现本文算法的优越性，和已有的方法进行了对比实验，实验结果见表5。

从表5可以看出，相较于对比算法，对选取的各种图像本文算法大多都有最佳的PSNR值，充分表明了本文算法的有效性。

表5 各算法盲去模糊PSNR/dB对比

4 结束语

结合L0范数正则化强度和梯度先验知识和典型的正则化约束方法，本文对图像去模糊进行了研究，在图像非盲去模糊方面，利用L0范数和NLTV算法各自的优点，构建了图像非盲去模糊模型，相较于单一的正则化约束方法，该模型更好地利用了图像本身的结构信息，对细节部分有更好地恢复效果；在图像盲去模糊方面，基于L0正则化先验估计出的模糊核和联合全变分方法，提出了盲去模糊模型，实验结果表明该模型复原出的图像具有更高的锐化度和PSNR值，效果更好。由于本文涉及的参数众多，导致程序运行时间较长，下一步研究可考虑对参数进行自适应选择。另外，为提升模糊核估计的准确度，可考虑对模糊核采用多种方法进行联合估计，以达到更好的图像去模糊效果。