基本不等式教学需注意的问题及教学建议

唐瑞 赵思林

摘    要：基本不等式是培养学生发现数学知识、逻辑推理能力和数学应用意识的好素材.在基本不等式教学的新课引入中，教师应根据学生实际和学生的最近发展区，可优先考虑生活情境、弦图法、“问题串”法;对于基本不等式证明方法的选择，除教材中提到的比较法、分析法和综合法外，还有几何法，而且可以利用“一题多证”培养学生的发散思维.

关键词：基本不等式;教学问题;教学建议

一、基本不等式的数学文化价值

1.从赵爽的“弦图”可发现基本不等式.中国数学家赵爽在《周髀算经》中写道：“以图考之，倍弦实，满外大方，而多黄实.黄实之多，即勾股差实，以差实减之，开其余，得外大方.大方之面，即勾股并之.”[1]即：若直角三角形两直角边为[a，b，a>0，b>0]，斜边为[c]，则

2.从欧几里得的矩形之变可发现基本不等式.欧几里得最早给出了两条已知线段的比例中项的作图法，现行教材采用这种方法来发现和证明基本不等式.

3.从芝诺多鲁斯的等周问题的结论可发现基本不等式.芝诺多鲁斯研究等周问题提出了命题，“在边数相同、周长相等的所有多边形中，等边且等角的多边形的面积最大”.若矩形长为b，宽为a，则与该矩形等周长的正方形的边长为[a+b2]，由此利用“正方形的面积不小于该矩形面积”可推出：

二、基本不等式的教材分析

（一）教材的地位与作用

“基本不等式”是初中学过不等式的几条简单性质及一元一次不等式的解法、高中学过一元二次不等式的解法之后，人教A版教材从几何背景（赵爽弦图）中探究发现的结论.基本不等式的教学价值体现在以下几方面：一是发现和证明其他一些不等式的重要工具，如利用基本不等式可发现和证明n元算术—几何平均值不等式[2];二是求解最值问题的有力工具;三是解决其他数学问题的重要工具;四是高考数学的重点和热点;五是学习高等数学的基础.

（二）教学目标

将本节课的教学目标确定为：①能在具体的几何问题情境中，通过思维（观察、抽象、概括等）及演绎推理得到基本不等式;②在多角度探索基本不等式的过程中，体会数形结合的数学思想方法;③会运用基本不等式解决简单最值问题，体会数学的应用价值.祝存建[3]强调“……感受数学形式化结论的一般形成过程——实验、观察、猜想、归纳、抽象、概括，形成结论，体会数学的理性思维价值，发展学生的数学思维能力.”这就把探究数学、发现（再创造）数学纳入教学目标，其教学境界会大大提升.

（三）教学重点与难点

大部分教师都将“应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程”视为教学重点;将“从不同角度探索基本不等式的证明，能利用基本不等式的模型求解函数最值”作为教学难点.陶文晶[4]建议，应该将基本不等式成立时的三个限制条件（简称“一正、二定、三相等”）作为本节课的难点.

三、基本不等式教学需要注意的几个问题

基本不等式教学存在教师自身的数学知识系统不够完善，不够重视数学知识本质的教学等问题.这说明，对教师而言基本不等式貌似简单实则难.因此，教师自身提升数学素养是非常必要的.

（一）新课的引入：渗透数学文化或联系生活实际

基本不等式的引入方式大致分为五种：一是从基本不等式的历史背景引入，如人教A版利用赵爽的“弦图”引入;二是从其他学科知识引入，如在苏教版教材中，通过天平称重，引导学生利用物理知识得出数学公式;三是从生活实际问题引入[5]，如利用“装箱”问题引入;四是从代数问题引入，如通过赋值比较[ab]与[a+b2]的大小，由特殊到一般归纳出基本不等式;五是采用公理化思想的方法，即是直接把“[a2≥0]（[a∈R]）”作为不等式的一个公理，由此推导出基本不等式，这样处理，突出了数学知识的内在联系，可以回避花花草草的烦琐情境，降低学生的认知负荷.曾萍等[6]对“弦图”引入法提出质疑：（1）用“弦图”表示重要不等式的等号成立的条件不易直接从“弦图”看出;（2）分别以[a、b]替换[a、b]的思路不自然;（3）证明方法单一，不利于培养发散思维.对此，她利用AMA软件，通过对原图形的伸缩变化，减少视覺对图形位置改变的处理，减少注意力的分散;用“问题串”引导学生对重要不等式进行变形，得到基本不等式;分别从几何视角和函数视角解释基本不等式，以增强对不等式的理解.但需注意，若用赵爽的“弦图”引入，则会产生数学“育人”之效应，一是可激发学生的爱国主义情感，二是可渗透数学文化的教育.张忠旺[7]认为第一种引入方式中的“弦图”的本质就是完全平方公式的变形，也即基本不等式的几何意义;第二、三种引入方式过于复杂，耗时较长，冲淡了教学目标;第四种引入方式有虚假之感;第五种引入方式的困难在于学生对“公理”的理解并不容易.

每种引入方式都有利有弊，应根据学生实际情况选择合适的引入方式.综合来看，利用“天平称重”引入基本不等式是较佳的方式，不仅联系生活实际，而且涉及物理知识，最重要的是避免了人教A版中“替换”的不自然过程，通过分析真实重量，直接得到[ab]和[a+b2]，再通过猜测、验证得出基本不等式.这个引入方式自然、简洁，有利于学生体会数学建模思想，有利于学生经历发现（再创造）数学的过程，但会增加学生的认知负荷.

（二）证明方法的选择

人教A版教材仅给出三种证明方法：分析法、综合法及几何模型法.用人教A版中第一种证明方法即分析法有困难，难点在于学生不容易理解为什么可以这样证明以及证明的书写格式，其原因是学生还没有接触过分析法的逻辑依据，教师需对分析法证明的合理性做适当说明.用分析法证明不等式，在2003年前的教材中虽然安排了2学时，但仍有很多学生学得很艰难甚至痛苦;现行的人教A版教材只安排几分钟，可能教材编写专家低估了分析法的教学难度，需要评估这种安排的实际效果.黄娅[8]对教师采用的证明方法调查发现，采用作差法、几何模型法、分析法、函数单调性、弦图法分别占59.3%，51.9%，48.1%，14.8%，11.1%.需要说明的是，不少教师同时选用了2～3种引入方法.基本不等式的证明的教学，应重视它和其他知识（平面几何、三角、数列、向量等）的内在联系，体现它“基本”的一面——证明的多样性与变形的多样性，从而帮助学生对基本不等式的本质的理解.