指向单元教学设计的数学教材分析示例

摘    要：教材分析是数学教学设计及其课堂实施准备工作的逻辑起点.指向单元教学设计及其课堂实施的教材分析，重在揭示一系列数学知识点所形成的中观结构，从中辨别主导性数学知识点与从属性数学知识点，从而突出重点与突破难点，为减轻学生的学习负担奠定基础.

关键词：数学教学;单元教学;教学设计;教材分析

数学知识具有结构性特点，从而相关数学知识点可以依据不同的标准，形成一系列的环节链条，在某个具体的链条中，每一个环节都是其中的中介，是前面的环节蠕动趋势所实现的结果，又是构成后面的环节的前提.关于某种环节链条的数学知识教学设计及其课堂实施，就是将这条环节链条投射到学生的认知结构中去，由此可以想象到，在学生的认知结构中，相应地存在着承载某条数学知识链条的认知结构中的那些不同心理环节及其所生成的运动的节律，这就构成数学单元教学设计及其课堂实施的心理起点.本文重在研究单元数学教学设计及其课堂实施的基础之一的教材分析，这里举例说明之.

一、指向单元教学设计的教材分析内涵及特点

所谓教材分析，顾名思义，就是对教学材料（即数学知识内容）的分析，指教师对在一段时间内（比如一课时、一单元时段，甚至一个学期时段）将要传授的教学内容（数学知识）分解开来，认识它的每个部分或每个层次的要素及其关联过程的实质，在此基础上，通过综合，获得对于写进教科书中的数学知识内容的整体认识的思辨过程[1].由于数学知识的结构性特点，决定教材分析具有相互联系与补充的宏观分析、中观分析与微观分析三种途径，在教学设计时，应将经由这三种分析的结果整合起来，从而斟酌损益使用教学法加工，选择合适的教学结构，即选择课堂教学活动的一种途径所形成的教学过程.

指向单元教学设计的教学分析的基础主要表现在对于写进教科书中的数学知识点进行中观分析，然而，由于数学知识的结构性，要想得到合适的中观分析途径与理想的中观分析结果，就离不开宏观分析与微观分析结论的帮助.指向单元教学设计的教材分析的特点在于，应该以整个单元所呈现的所有数学知识点作为分析对象，由于在教科书的编制中，呈现的很可能是一节课一节课所组成的孤立数学知识点，当我们进行中观分析时，就是将这些孤立的数学知识点沿着综合的设想，将其整合成某条知识点的具有某种程度上的发展趋势的环节性链条的过程.

由此不难认识到，在由数学知识点组成中观知识结构链条中，这些知识点对于组成结构链条的作用不是平等的，而是具有等级性，某些知识点相对地处于主导性地位，而另外一些知识点则相对地处于为主导性知识点服务的从属性地位.当教师通过教材分析辨别某些具体知识点的相应的地位时，就为单元教学设计及其课堂实施奠定了良好的基础.因为，在这种情况下，数学教师就可以分清轻重缓急，从而便于突出重点;容易据此揆度学生关于发生主导性数学知识点的心理疑难所在，进而研究如何突破难点.

关于为主导性知识点服务的那些知识点通过微观分析，通过具体析出可以析出其中的教学价值，做出相应相称的处理，该简则简，该略则略，其目标主要在于依据这些知识点辅助学生理解主导性知识点.这就是一个單元，或者一条数学结构链条上知识点中的主导性知识点与从属性知识点之间的关系所在.单元教学设计及其课堂实施就是要在主导性知识点上下功夫，要在主导性知识点与从属性知识点之间的建立联系上下功夫[2].俗云，一个好汉三个帮，一个篱笆三个桩，做好主导性知识点及其从属性知识点与主导性知识点的联系的准备工作，就为实现教学设计及其课堂实施奠定了基础.

二、指向单元教学设计的教材分析示例

《增广贤文》曰：理在用中方知妙，事非经过不知难;陆游诗云：纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行.上述指向单元教学设计及其课堂实施的教材分析理论如果不能使用具体教材分析的实践来体现它，那么，就有可能只是纸上谈兵，没有指导数学教学实践的价值，理论的力量就会显得苍白.因此，我们选择上海科学技术出版社新时代数学编写组编制的《义务教育教科书·数学》（简称“上科版教科书”）七年级上册的“第1章”教学内容为例，演示指向单元教学设计的教材分析过程的观念及其指令下的具体分析行为.

在《有理数》这一章里，一共分为七节，其中第七节“近似数”是第六节“有理数的乘方”⑥的具体应用，因此，“近似数”是从属性的外围知识点.其他的分别为第一节“正数和负数”①;第二节“数轴、相反数和绝对值”②;第三节“有理数的大小”③;第四节“有理数的加减”④;第五节“有理数的乘除”⑤（为了后述行文方便，关于这六节使用了序号加以标识）.下面，就整个的这一单元所出现的这些具体知识点，进行中观分析，看看这些数学知识点如何从中观上组成具体的单元结构.

从总体上看，有理数概念及其内容的产生是将小学学习的非负数系扩充到有理数系的结果，这一次扩充的物质性基础在于引入“负数”概念，从而与“正数”“零”构成有理数系，形成“有理数”概念.当以一个数系为基础而扩充为包括这个数系的更大数系时，在这种推广计划的机制中，隐藏着一个主导性统一的观念.这个观念被称为固本原则，对于这种固本原则的应用是多方面的，其中的一个主要方面就是在非负数系中所建立起来的某些主要运算法则应该相应地推广到扩充后的数系中去[3].

因此，依据固本原则的要求，引入有理数概念后，就应该将在非负数系中所建立的运算法则同时扩充到有理数系中来，在教科书的安排中，④⑤就是非负数系中的具体运算，⑥则是在有理数系中新定义的一种运算（其实，这种乘方运算在非负数系中也可以定义，只是那时还不需要而已）.由此可以发现，这一章虽然涉及这么多的数学知识点，不过其中的引入“负数”概念进而定义的“有理数”概念，基于有理数概念而建立相关的有理数运算法则这两个知识点构成这个单元的主导性数学知识点.其他的数轴概念、相反数概念、绝对值概念②、有理数的大小③、近似数都是从属性知识点.由此分析结果认识到，在教学设计及其课堂实施中，这里会出现两个问题.

其一，④⑤⑥这基于有理数的三项不同等级运算的建立，又可以分为三个不同的层次，其中，最为基础的一级就是有理数加（减）法运算法则的建立，它构成建立有理数的乘除运算或乘方运算法则的示范，教学设计中需要教师特别重视.因此，数学教师在关于“有理数”这一章的教学准备工作中，就要特别注意在建立有理数概念（数系扩充）与基于有理数概念建立有理数加（减）法法则这两个主导性知识点上下功夫.关于有理数概念的建立，“上科版教材书”所提供的教学素材已经非常完备，老实说，无须调整就可以直接地进入课堂实施.

其二，数学教师还需要通过进一步具体分析，弄清楚外围的从属性知识点（主要是②）对于这两个主导性知识点的作用.学习主体的心理特点的规定性在于，总是希冀通过化归的手段将新数学知识转化为自己已经掌握的数学知识中去，前者是后者的“最近发展区”，后者是前者的“合适根据地”;固本原则从数学知识的历史进程中也充分地说明了这一点.关于有理数系中的加（减）法法则如何建立在过去的非负数系中已经存在的加（减）法法则的基础上呢？这是首先需要研究与解决的问题.

教师可以循着数学史的上述事实，形成一种教学设计及其课堂实施的构想，那就是将我们基于非负数系所扩展的负数构成有理数系的那种“负数”去掉，从而返回学习主体过去已经掌握的非负数系中去，如此，在非负数系所建立起来的加（减）法法则在有理数系中就可以通行无阻了（固本原则的实现）.那么，如何将有理数系的负数子集化归为相对应的有理数系的正数子集呢？这就需要引入绝对值概念与相反数概念.在这两个概念中，相反数概念是绝对值概念的自然结果.因此，编制教科书与教师教学设计及其课堂实施的重点都集中于如何帮助学习主体建立这个绝对值概念，因为，有了这个概念，就形成将负数转化为正数的一种机械性装置.

那么，如何启发学生领悟与理解绝对值概念？如果是我们学习过高等数学的教师自己，这是一件比较容易的事情，直接定义一个数a的绝对值，即[a=a（a≥0）-a（a<0）]，就形成绝对值概念.但是，对于刚刚进入初一的学生来说，这种直接定义他们非常不习惯，无法领悟与理解绝对值概念的本质.于是，作为数学教育工作者，就想到使用可视化的途径，帮助学生领悟与理解绝对值概念，这就产生一条途径，即引入数轴概念，将一切有理数使用一直线上的点来表示，得到使有理数可视化的目的.

按照皮亚杰的发生认识论理论，“随着在将近十一岁到十二岁时开始形成形式運演的出现，在这个阶段，运演从其对时间的依赖性中解脱了出来”[4]，但是，这只是刚刚开始由从九岁到十岁的“具体运演阶段的第二水平”过渡到“形式运演”阶段，由于这种过渡的心理活动过程，不是一蹴而就的，因此，建立数轴概念，形成可视化策略的支点，就为学生领悟与理解绝对值概念奠定了基础.有了数轴概念的工具，有理数系就完全能够可视化了.从心理上说，这就将使用理性思维运作相关的有理数概念，转化为可以使用感性思维进行运作了，从而很好地降低了思维层次.

通过数轴概念的帮助，经由一段时间，不同学生可以或早或迟地逐步完成从“具体运演阶段的第二水平”过渡到“形式运演”阶段，对应地可以体验到自己的思维方式的进展，再有一段时间，在教师的悉心帮助下，进而丢弃这种数轴概念的可视化工具，直接从感性思维运作上升到理性思维的运作.由此可以认识到，在学生形成数轴概念、绝对值概念、有理数的加（减）法则这些知识教学目标的同时，帮助学生实现从“具体运演阶段的第二水平”过渡到“形式运演”阶段认知结构层面上的教学目标.

三、基于单元知识点教材分析结论的教学准备工作

上述的教材分析得出的知识结构性线索为教师单元教学设计及其课堂实施途径的准备工作提供了依据：其一，教学的重点为两个知识点，即一是有理数概念，二是建立有理数的加（减）法法则，其中绝对值概念是建立加（减）法法则的基础;其二，教学的难点在于帮助学生领悟与理解绝对值概念，领悟与理解建立有理数加（减）法法则的心理过程与这两个法则字斟句酌的表达背后的本质.因此，数学教师教学设计的准备工作的着力点就应该基于这两点展开.

在做好突出重点与突破难点的这两个知识点的教学准备工作以后，其他知识点，如数轴概念、有理数的大小、近似数等由于更为偏向于感性认识活动，因此，虽然学生有可能只是从现象上认识与理解它们，原则上说，都是无关紧要的（当然，这种观点只是比较而言的，教师通过自己的努力能够帮助学生从本质结构上理解它们更具价值，但是，一般教师的教学设计及其课堂实施可能达不到如此程度），使用一般的途径进行教学就行了.

如此，指向单元教学设计及其课堂实施的教材分析结论，就可以帮助教师抓住这些知识点所构成结构的矛盾中的主要矛盾与矛盾的主要方面，从而在教学设计中可以做到分清轻重缓急，突出教学要点，实现极大地减轻学生的学习负担的教学目的.毛主席说，“要真正地认识对象，就必须要把握与研究它的一切方面、一切联系和‘媒介，我们绝不能完全做到这一点，可是要求全面性，将使我们防止错误，防止僵化……表面性，对矛盾总体和矛盾各方的特点都不去看，否认深入事物里面精细地研究矛盾特点的必要，仅仅站在那里远远地望一望，粗枝大叶地看到一点矛盾的形相，就想动手解决矛盾.这样的做法，没有不出乱子的”[5].这个例子中的指向单元教学设计及其课堂实施的教材分析就是其突出的体现.

教材分析构成数学教学设计及其课堂实施的逻辑起点，因为教学活动的过程就是将数学知识点投射到学生的认知结构中去的过程，所以教材分析必然构成学情分析的基础，而教材分析与学情分析结果的整合做成教学法分析的基础，数学教师通过自己的教学法分析来选择关于某个数学知识点的课堂教学结构.由此认识到，教材分析构成数学教学设计及其课堂实施的基础中的基础.指向单元教学设计及其课堂实施的教材分析，重要揭示一系列数学知识点的中观结构，从中辨别出主导性数学知识点与从属性数学知识点，从而便于教师突出重点与突破难点，为减轻学生的学习负担奠定基础.

参考文献：

[1]张昆. 教材分析：数学教学设计的基础[J]. 中学数学杂志，2018（8）：13-16.

[2]张昆，郑雷聪. 初中数学单元教学设计示例——以一元一次方程一章为例[J]. 内江师范学院学报，2019，34（8）：33-38.

[3]T.丹齐克. 数·科学的语言[M]. 苏仲湘，译. 北京：商务印书馆，1985：77-80.

[4]J.皮亚杰. 发生认识论原理[M]. 王宪钿，等译，胡世襄，等校. 北京：商务印书馆，1996：51.

[5]毛泽东. 矛盾论[M]//毛泽东选集（第一卷）.北京：人民出版社，1991：313.