新高考如何减少解析几何运算量

黄祥辉

摘要：解析几何是用代数的方法研究几何问题的一门数学学科，因此在解析几何的运算中，代数运算是不可避免的，若使用方法不当，往往会使解题过程繁琐冗长，以至很难得出正确的答案。因此，如果利用几何、定义、点差、三角代换……等方法即可简化运算。

关键词：新高考  解析几何  运算量  解题方法

解析几何是借助坐标系，运用代数方法来研究几何图形关系与性质的一门学科，体现了数形结合的思想。数离不开运算，若运算方法、运算顺序等不当，会陡增计算量，导致半途而废。每年高考中因此失分的也不少，在解题中，尽量减少运算则成为迅速、准确地解题的关键。那么在新高考中如何正确地选择方法，减少解析几何题的运算呢？对此本文作一探讨。

一、几何法

有关圆的弦长问题用几何法比用代数法运算量小，几何法就是利用半弦、半径、弦心距之间的勾股关系来解决问题。

例1、（ 2018·全国Ⅰ卷，文15） 直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A、B两点，则|AB|=________.

解析：根据题意，圆的方程可化为x2+（y+1）2=4，所以圆的圆心为（0，-1），且半径是2，

直线方程化为一般式x-y+1=0，根据点到直线的距离公式可以求得 ，

结合圆中的特殊三角形，可知 .

评注：该题考查的是有关直线被圆截得的弦长问题，在解题的过程中，熟练应用圆中的特殊三角形：半弦长、弦心距和圆的半径构成的直角三角形，借助于勾股定理求得结果.

二、定义法

圆锥曲线定义反映了曲线的本质属性，是圆锥曲线几何性质的“根”与“源”，活用定义，能避免繁琐计算。

例2、设动圆C与两圆C1：（x+ ）2+y2=4，C2：（x- ）2+y2=4中的一个内切，另一个外切，求动圆圆心C的轨迹方程.

评注：应用定义求解圆锥曲线问题，其优势在于可避免繁琐的代数处理过程，给人以简捷、明快之感。定义法是解析几何中最朴素、最基本的数学思想方法。

三、点差法

点差法是一种常用的模式化解题方法，这种方法对于解决有关斜率，中点弦等问题有较好的解题效能。

评注：点差法通过“设点”、“作差”两个步骤，就产生了弦的中点和弦所在直线的斜率，巧妙地避免了解方程组求交点的复杂运算，使问题轻松地获解。与常规法相比，其优越性显而易见。所以在遇到与中点弦有关的问题时应该考虑使用这种方法。

四、三角代换法

利用三角函数的性质将曲线问题转化成三角问题。此法往往能化繁为简，变难为易，从而得到简捷合理的解题途径。

例4、已知点P在椭圆C： +y2=1上，点Q在直线C2：x+y-4=0上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.

解析： 由题意，可设点P的直角坐标为（ cos α，sin α）.

评注：本题为双动点问题，用平面几何知识将双动点问题转化为单动点问题：求圆锥曲线上动点到直线的距离的最小值。而最值问题借用三角工具往往运算量较小。

五、横截距法

在直线与圆锥曲线的位置关系中，设直线方程为x=my+b（斜率不为零时），可以避免分类讨论，有时还可以降幂。

例5、（2017·全国Ⅲ卷，理20（1））已知抛物线C：y2=2x，过点（2，0）的直线l交C与A，B兩点，圆M是以线段AB为直径的圆.证明：坐标原点O在圆M上;

评注：此题若设直线的点斜式方程不仅要讨论斜率是否存在，而且消元后所得一元二次方程各项系数都较繁。以上设成“横截距式”既便于消元，又十分简捷。

六、曲线系法

解析几何中的某些曲线相交问题，圆锥曲线共渐近线、共焦点问题，可以借助曲线系实施突破，利用曲线系方程简捷获解。可以避免求曲线的交点及分类讨论，从而减少计算。

评注：根据题设条件恰当选取曲线系方程，运用待定系数法求曲线方程，可使有关问题简捷获解。

七、设而不求法

在某些解析几何问题中，灵活把握曲线方程的特点，利用韦达定理，采用设而不求、整体代入、整体运算等方法，常可以简化运算过程，提高解题速度，并从中感到整体思维的和谐美。此法在解析几何解题中最常用。

例7、（2018·全国Ⅰ卷，理19（2））设椭圆 的右焦点为 ，过 的直线 与 交于 两点，点 的坐标为 。设 为坐标原点，证明： 。

评注：本题用参数设置了A、B两点的坐标，但在解题中没有也不必要去求这些参数，而是根据它们应该满足的题设条件剖析出所需要的结果。故设而不求在解题中只让这些参数体现其桥梁和纽带作用。

解析几何问题的解决，要尽可能运用适当的方法，避免太过繁杂的计算。减少计算量的方法还有很多，并且不同题目也会有不同的方法，只要在平时的练习中多实践、多总结，在新高考中肯定能够以简驭繁，事半功倍，使解题构筑在较高的思维层面上。