让直线和平面动起来——迅速解决平行问题

江苏省江阴市第二中学 刘桂饶

《普通高中数学课程标准（2017 年版）》指出：直观想象是借助几何直观和空间想象感知事物的形态和变化，利用图形理解和解决数学问题的素养，是高中数学课程的六大核心素养之一。在立体几何的教学中，我们应该运用直观感知、操作确认、推理论证等方法认识和探索空间图形的性质，建立空间观念。

直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（以下简称线面平行的判定）。用符号表示为：若a α，b α，a ∥b，则a ∥α。利用线面平行的判定定理判定线面平行时，在面α 内寻找与a 平行的直线b 是难点。

由两个平面平行定义得：如果两个平面平行，那么一个平面内的直线平行于另一个平面（以下简称面面平行的性质）。用符号表示为：若α ∥β，a α，则a ∥β。利用面面平行的性质判定线面平行时，找过直线a 且与平面β 平行的平面是难点。

如何突破这些难点，迅速解决相关问题？请看下列几个案例：

【案例1】如图1，在四棱锥P-ABCD 中，M，N 分别是AB，PC 的中点，若ABCD 是平行四边形，求证：MN ∥平面PAD。（江苏出版社《普通高中课程标准实验教科书》必修2，第38 页）

分析方法1：

（1）利用线面平行的判定定理证明MN ∥平面PAD，就是在平面PAD 内找到一条直线a 与MN 平行。

（2）猜想直线PA、PD、AD 与MN 平行？但它们与MN 都异面。

（3）平面PAD 内哪条直线与MN 平行？

（4）如图2，尝试用三角尺平移MN 到面PAD 内：点M 到点A；点N 到PD 上，设为E（直观感知E 为线段PD 的中点）。

（5）由此本题可以取PD 的中点E，通过证明AE ∥MN，从而证明MN ∥平面PAD（证明略）。

分析方法2：

（1）利用面面平行的性质证明MN ∥平面PAD，就是要找到过直线MN 且与平面PAD 平行的平面。

（2）过直线MN 且与平面PAD 平行的平面是哪个平面？

（3）尝试平移平面PAD 到过直线MN。我们可以通过平移直线来实现。

（4）如图3，平移直线AD 到过点M，交CD 于F（直观感知F 即为线段PD 的中点）。相交直线MN、MF 所确定的平面NMF 即为所找平面。

（5）由此本题可以取CD 的中点F，通过证明平面NMF ∥平面PAD，从而证明MN ∥平面PAD（证明略）。

【案例2】如图4，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，AD ⊥DC，AB ∥DC。

（1）求证：D1C ⊥AC1；

（2）试在棱DC 上确定一点E，使D1E ∥平面A1BD，并说明理由。（2008 年江苏省高考考试说明，典型题示例第51 页）

分析：

（1）利用线面平行的判定定理解本题时，发现无法平移D1E 到平面A1BD 内，因为D1E 不确定，点E 未知。如何解决？

（2）逆向思维，平面A1BD 内哪条直线与D1E 平行？A1D？A1B？BD？分别平移A1D，A1B，BD 到过点D1（D1E 虽不确定，但其中点D1是已知的）。

（3）如图5，平移A1D 到过点D1时，与DC 不相交；如图6，平移BD 到过点D1时，与DC 也不相交；如图7，平移A1B 到过点D1时，与DC 相交，其交点设为E。

（4）由作法知：A1D1∥AD，A1D1∥平面ABCD，所以A1D1平行于平面ABCD 与平面A1D1EB 的交线BE，从而四边形ABED 为平行四边形，所以E 为棱DC 中点，所以当点E 为棱DC 中点时，D1E ∥平面A1BD。

（5）由此本题可以取棱DC 的中点E，通过证明D1E ∥A1B，从而证明MN ∥平面PAD（证明略）。

【案例3】如图8，已知有公共边AB的两个全等矩形ABCD 和ABEF 不在同一平面内，P，Q 分别是对角线AE，BD 上的动点，当满足什么条件时，PQ ∥平面CBE？（江苏出版社《普通高中课程标准实验教科书》必修2，第38 页）

分析方法1：

（1）利用线面平行的判定定理来确定P，Q 两点。

（2）显然，EB、BC 与PQ 不平行，CE 呢？（EB、BC 均与PQ异面，三条直线中只可能是CE）

（3）如图9，沿线段EA 平移CE（AE与CE 有交点），与EA、BD 分别相交于P、Q。

（4）由作法知，A，Q，C 是平面EAC 和平面ABCD 的公共点，所以A，Q，C 三点共线。Q 为AC，BD 的交点，为BD 的中点，此时P 是AE 的中点。所以当P、Q 分别是AE，BD的中点时，PQ ∥平面CBE。（证明略）

分析方法2：

（1）利用面面平行的性质来确定P，Q 两点：平移平面CBE。

回顾与反思：

方法1 和方法2 中结论不同，方法1 的结论仅是方法2 中的一种特殊情况。那么方法1 是不是只找到了一种特殊情况而漏掉了一般情况？让我们回到方法1 中接着分析：

（5）CE 是面CBE 内很特殊的与PQ 平行的直线，面CBE 内会不会还有其余直线与PQ 平行呢？是怎样的直线？

（6）让我们平移PQ 到平面CBE 内看看：点P 到点E；点Q 到直线BC 上（不一定是点C）。

（7）如图11，取线段BC 除端点外任意一点M，连接EM。沿线段AE 平移EM（AE 与EM 有交点），分别与AE、BD 相交于点P、Q。

（9）如图12，M 为线段BC 延长线上任意一点，连接EM。沿线段AE 平移EM，分别与AE、BD 相交于点P、Q。同样，当点P、Q 满足EP=BQ 时，PQ ∥平面CBE。

（10）如图13，当M 为线段BC 反向延长线上任意一点时，连接EM，沿线段AE 平移EM，发现EM 与BD 不相交（此时线段EA、线段EM，均在线段BD 同侧，沿线段AE 平移线段EM 时，是远离线段BD 而去，故与线段BD 不相交）。

综合以上分析，方法1 可以得到与方法2 同样的结论：当P，Q 满足EP=BQ 时，PQ ∥平面CBE。（证明略）

在进行复杂逻辑推理或者数学运算时，我们可以运用直观想象来探寻逻辑推理或者数学运算的方向，把复杂问题简单化。这样的课堂能充分发挥学生的主观能动性，让学生积极参与其中，动手操作，从实践中猜想数学规律，进而检验猜想的真假，既活跃了数学课堂的气氛，激发学生学习数学的兴趣，又让学生体验到了数学发现和创造的历程，发展了他们的创新意识，形成了数学直观。