挖掘例题习题教育潜能培养学生创造思维能力

（洛阳师范学院数学科学学院，河南 洛阳 471022；鄢陵县教研室数学教研员第二高级中学教师，河南 许昌 461000）

例题是教师教学的依据，也是学生临摹的范本;习题是检验教师教学得失的参谋，也是学生巩固训练的靶场.世界各国都有一种共识，创造力的开发是国家、民族、社会进步关键，原国家主席江泽民1998 年2 月，1999 年6月两次分别提出了1“创新是一个民族进步的灵魂，是国家关旺发达的不竭动力”，“面对世界科技飞速发展的挑战，…… 教育在培育创新精神和培养创造性对人才方面，肩负着特殊的历史使命”。当前，创新思维是教学科学的热门话题；那么，例题习题是数学课堂教学培养学生创造思维的基础，通过挖掘例题习题智力潜能的教学，培养学生创造思维能力是一条有效途径。要做到这一点，首先应该明确什么是创造思维？

所谓创造思维主要是指主动地，独创地发现新事物，提出新见解，解决新问题的一种思维，它主要是依赖于创造者的知识量和发散的思维能力。如徐利治教授所指出：数学创造往往从不严格的发散思维开始，而以严格的逻辑分析思维即收敛思维终至，其过程要有审美意识的参与，他经多年的体验、感悟与研究提出了一个创造力公式：2“创造力＝有效的知识量×发散思维能力×抽象分析能力×审美能力 ”。而长于归纳，擅于类比，富于想象是创造思维的可贵品质，譬如，人们在探索事物本质时，常常在类比联想中得到启发，在比较中抓住事物相互联结的链条，通过归纳寻求到解决问题的线索，或通过演绎发现未曾认识的关系等，有了这种品质大脑就有了灵感，顿悟，以致于创造出奇迹。

本文以人教版新编数学第一册（下）（试验修订本 · 必修）和人教版高中代数第一册的例题或习题为例来探讨如何挖掘其内在智力潜能。希望经过本文的阐述能起个抛砖引玉的作用。

一、类比、猜想、推陈出新

例1 求证34：sin50°（1＋tan10°）＝1 这是159 页、例4，其解法如下：

此题实在是太美了，当你认真审视时，通过（1）变换，（2）逆向思维运用公式，（3）利用诱导公式等对学生所学知识进行了综合训练，真是一气呵成，总体上是用到了数学转化的思想，可惜如此好的题目新编数学第一册（下）（试验修订本）第43 页以及高中代数课本第一册（人教版）的练习和习题中都没有如此美而通达形神兼备的样题供学生练习，其不太遗憾了，因此，迫于教学和练习的需要，我们对这个题目进行类比猜想。

二、变中求美、推广深化

三、创设情景，引起思考，归纳联想，激发求知欲望

例3：求证6：设f(n)＝

求f(0), f(1), f(2), f(3), f(4);

证明对任何非负整数n，f(n)都表自然数。

这个题隐含了一个有趣的数列—— 斐波那契数列。

在评讲这一题时，可先向学生介绍：斐波那契（Leonnardo Fibonacci）约1170—1230 年，是意大利数学家，他在1202 年出版的一本算术书中引进了阿拉伯的数字（当时欧洲人仍然用原始的罗马数字）。他该书中提出下列问题：“有小兔一对，若第二个月它们成年，第三个月生下小兔一对，以后第月生产小兔一对，而所生小兔也在第二月成年，第三个月生产另一对兔，以后也每月生产小兔一对，问一年后共有多少对？（假定每产一对兔，必为一雌一雄，而所有小兔子都可相互交配且无死亡）”。

学生经过讨论思考后可得一年中每月分别产：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，即到年底144 对兔子，对这个问题所得到每月兔子对数为一个有限数列，即斐波那契数列。

（2）观察：1＋1＝2，1＋2＝3。2＋3＝5 …… 55＋98＝148规律是:每相邻三个数中,前两个数之和等于后一个数。

推广到无限

1，1，2，3，5，8，…… ……，89，144，233，…… ……

一般形式:an＋an1+＝an+2,a1＝ a2＝1

（3）对原题进行类比推理

∵f(0)＝1,f(1)＝1,f(2)＝2,f(3)＝3,f(4)＝5;

∴f(0)＋ f(1)＝ f(2),f(1)＋f(2)＝ f(3),f(2)＋ f(3)＝f(4)

于是引导学生猜想有：f(n)＋ f(n＋1)＝ f(n＋2)，得出这个猜想是正确（证明略）。

（4）斐波那契数列的猜想还有许多美而有趣的性质。如

数列中任意两相邻项互质即：(f(n),f(n＋1))＝1 (n＝1,2,……)

以上这些猜想都是正确（证明从略）

特别奇妙有趣且还有美学意义的是:在线段的黄金分割中,两条线段的比是0.6180339887……它的渐近分数是，……这一串渐近分数的分子分母依次为1，1，2，3，5，8，13，21，34，…… 它恰是一个斐波那契数列，近几十年来人们赋予了它们新的内容而变成了“优选法”中的一个重要方法，我们也可称它是一种学美的方法，对生产实践和科学实践起了重要作用。

从以上的分析中可以得到如下启示：

在课本中的例题习题里的潜能是很大的，是可挖掘的，这样的深入挖掘探索不仅仅使学生开发了智力，而且培养了学生探究能力，审美情趣，避免了学生陷入题山题海之中;它的挖掘不仅仅激发了学生们的求知欲，使学生对数学发生了浓厚的兴趣;而且对其创造思维能力的培养与尤其是对未来的学习生活的作用是不可估量的，正如世界著名数学教育家弗赖登塔尔所说：7“数学知识既不是教出来的，也不是学出来的，而是研究出来的。因而学校的数学教学必须使学生通过自身的实践来主动获取知识，让学生在学习中掌握进行再创造的方法，以便进行数学化”。这正是数学素质教育的要求和应追求的目标。因再创造与创造本质是一样的，只是层次不同而已，这样以课本为基础去挖掘例题习题中的内涵的确是一个好办法，且事半功倍，像这样的习题还很多。如第256 页8习题15（3）,9习题17 等都可以进行类比,联想，推广、创造，所以我们每一位教师的在教学过程中要真正地以本为本，以纲为纲，引导学生以小见大，以微知著，举一反三，触类旁通，这样长期坚持下去可为学生自身的个性发展,创造力的发展,创造欲望的激发以及国家创造型人才的形成，积蓄强有力的发展动力。