求解欧拉方程的嵌入WENO格式

白晓雅， 郑秋亚， 梁益华

(1.长安大学 理学院 陕西 西安 710064； 2.中国航空计算技术研究所 航空气动力数值模拟重点实验室 陕西 西安 710068)

0 引言

近年来随着流体力学的迅速发展，业内人士提出了许多计算流体力学的数值方法[1-2]。迎风格式以其高分辨率和清晰的物理解而深受相关人士的青睐，其中低耗散E-CUSP是一种迎风对流差分格式[3]，主要是将无黏通量分为守恒项和压力项，避免了矩阵运算，使得运算效率大幅度提高，但是其在间断处抹平现象比较严重，分辨率不高，为此需要耦合加权本质无振荡(WENO)格式[4-7]来提高分辨率。WENO格式利用各个备选模板的凸组合方式进行重构，并且每个模板权重的选取依赖于该模板光滑因子的局部光滑性。Embedded-WENO格式[8]的主要思想是在间断处WENO格式表现为低阶精度，但是仍然可以使用剩余的光滑模板重构间断模板，同时引入内模板和外模板，使得在间断处格式收敛到精度较高的内模板，在光滑处收敛到外模板，这样可以很好地消除截断误差[9]和提高分辨率。本文通过数值实验证明了所提出的新格式E-CUSP-Embedded-WENO5具有良好的收敛效果和更高的分辨率，为二维欧拉方程的进一步研究奠定基础。

1 数值方法

1.1 控制方程

控制方程为一维欧拉方程，其守恒形式为

(1)

1.2 E-CUSP格式

1.3 嵌入WENO格式

(2)

(3)

由式(3)可得

(4)

1.4 龙格-库塔方法

(5)

2 数值实验

2.1 一维欧拉方程Lax激波管问题

在区域[0,1]上求解初值问题

采用Neumann边界条件，取200个网格点数，计算中条件数为0.4，本算例分别利用E-CUSP格式、E-CUSP耦合五阶WENO格式(E-CUSP-WENO5)和E-CUSP-Embedded-WENO5格式，在t=0.16时刻下求解欧拉方程激波管问题的密度和速度，结果如图1和图2所示。 可以看出，E-CUSP-Embedded-WENO5格式在间断处明显优于E-CUSP格式和E-CUSP-WENO5格式。在光滑处三者等价，但是在间断处E-CUSP-Embedded-WENO5格式捕捉效果更好，过渡带更窄，更加接近理论解，分辨率更高。

图1 t=0.16时刻下密度及其局部放大图Figure 1 Density and partial enlarged detail at t=0.16

图2 t=0.16时刻下速度及其局部放大图Figure 2 Velocity and partial enlarged detail at t=0.16

2.2 一维欧拉方程激波管问题

在区域[0,1]上求解初值问题

采用Neumann边界条件，取200个网格点数，计算中条件数为0.4, 本算例分别利用E-CUSP格式、E-CUSP-WENO5格式和E-CUSP-Embedded-WENO5格式，在t=0.035时刻下求解欧拉方程激波管问题的密度和速度，结果如图3和图4所示。可以看出，E-CUSP-Embedded-WENO5格式的鲁棒性更好，比E-CUSP-WENO5格式更接近理论解，分辨率更高，尤其在激波处捕捉到的过渡单元明显减少，仅需要两到三个单元。

图3 t=0.035 时刻下密度及其局部放大图Figure 3 Density and partial enlarged detail at t=0.035

图4 t=0.035 时刻下速度及其局部放大图Figure 4 Velocity and partial enlarged detail at t=0.035

3 结束语

本文通过求解一维欧拉方程的典型算例，分析了低耗散E-CUSP格式耦合Embedded-WENO后所得新格式E-CUSP-Embedded-WENO5的性能，将新格式与E-CUSP -WENO5格式以及E-CUSP格式的实验结果进行了分析比较，发现E-CUSP-Embedded-WENO5格式和E-CUSP-WENO5格式在光滑区域精度相同，但是由于E-CUSP-Embedded-WENO格式改变了非线性权重，使得在间断处精度有所提高，更接近理论解，分辨率更高。新格式对激波的捕捉能力更强，并且没有增加过多的计算量，这为欧拉方程的数值模拟提供了新的备选方法，也为二维欧拉方程的进一步研究奠定了基础。