多变量函数问题解题策略研究

2020-08-20李建华

中文信息 2020年7期

李建华

摘要：高考中对函数问题的综合考查常以压轴题出现，综合考查学生的数学思想和数学能力，但又不外乎考查函数单调性、极值、函数零点和最值、不等式恒成立及证明函数不等式问题等常见题型，在这些题型中却又经常会涉及双变量或多变量函数问题，对于这类问题，考生往往不知如何入手，有些考生做过相关练习，但只要条件一变，又会无从下手，针对此，特精心挑选了几个典型例题进行讲解、归纳、对比，从中归纳出两种有效的常用解题策略及途径。

关键词：轮换;同构;非同构;构造

中图分类号：G4 文献标识码：A 文章编号：1003-9082（2020）07-00-01

函数是整个高中数学的核心，贯穿于整个高中数学教材，也是高考重点考查的知识点之一，既有主观题，也有客观题，客观题更是以压轴题的形式出现，通过对函数知识的考查来考查学生的数学思想和数学能力。但主要题型还是函数单调性、极值、零点和最值，不等式恒成立和证明不等式问题，对于这些问题中的常见题型，学生一般都掌握得不错，但对于双变量或多变量问题，学生大都能听懂但不能掌握，特挑选以下例题做一分析对比总结，希望对考生有所帮助。

题型一、同构式变形构造新函数.就是将不同的变量放入了同一个关系式，但可将这个关系式视为一个函数，关系式与变量大小之间的关系靠函数的单调性进行联结，实现了将不等式问题转化为函数单调性问题。

例1;已知函数，x∈（0，+∞），当x1

A.（-∞，e） B.（-∞，e] C. D.

分析：此题显然是常见的不等式恒成立求参数的取值范围问题，一般是要分离参数转化为求函数最值问题，或利用不等式转化为函数单调性问题。由所给条件结构形式，很明显含有双变量，且属于轮换对称式，只需将其进行同构变形，转化为单调性问题来解决，我们会看到，其最终目的是转化为单变量（常见）函数问题。由0

反馈练习;已知。

（1）讨论的单调性;

（2）设，求证：

x1x2∈（0，+∞），。

留给读者解决，提示：观察所证不等式为双变量且为轮换对称式，又x1，x2任取，进而可定序x2>x1，再由第（1）问单调性可去掉绝对值符号，实现同构变形。

但有些双变量、甚至更多变量问题，其所给条件或结论表面上是否属于轮换对称式就非常不明显，这就给学生解决问题带来了障碍，事实上，高考对函数的综合考查，无论是双变量或更多变量问题最终还是要转化为单变量函数问题来解决，转化的手段基本就是同构变形构造新函数，或者是利用条件和结论变形消元构造新函数，从而转化为常见函数问题来达到解题目的。

例2;已知函数。

（1）当a=-2时，求曲线在点处的切线方程;

（2）若有两个极值点x1，x2且x1e2。（同构变形构造新函数）

分析：（1）省略;

（2）该题含有双变量及一个参数，但所证结论结构上显然不是轮换对称式，故不能直接进行同构变形，这就使许多学生看似似曾相识，却又无从下手。若从条件式结构看，就知道要对所证结论先进行变形，从而找到解题突破口，具体如下：

∵x1，x2是得两个极值点，且x1

∴有，∴，

从而，再往后就有了解题思路了，要证x1x2>e2，两边取自然对数，即证，亦即证明

即可，此式结构显然是双变量轮换对称式，可进行同构变形构造新函数来解决，即不等式左边分子分母同除以x1得，令，则有，亦即，令，则在t>1时恒成立，即g（t）在（1，+∞）上单调递增，∴g（t）>g（1）=0恒成立，从而原命题x1x2>e2成立。

题型二、非同构消元变形构造新函数。

例3;已知函数，其导函数的最大值为0。

（1）求实数的值;