二阶中立型时滞差分方程解的振动性准则

2020-08-19张思逸

贵州师范大学学报（自然科学版） 2020年4期

张思逸

(湖南幼儿师范高等专科学校,湖南常德 415000)

0 引言

二阶中立型差分方程的振动性理论在近十几年来得到了广泛的关注，主要体现在此类方程与某些类似微分方程的现象非常接近。此外，在物理学和其他领域有着许多应用(见文献[1,5])，特别是带有中立型与时滞项的差分方程。近些年来，二阶中立型差分方程关于解的振动性问题的研究受到很多关注，见文[2-4,6,9-10]。但是，二阶中立型时滞差分方程的振动性研究相对较少。文献[7]中研究了如下的一类变系数的二阶中立型时滞差分方程

Δ2[x(n)+p(n)x(n-m)]+Q(n)H(x(n-t))=0n≥n0

的振动性。在此基础上，文献[8]通过分析技巧也讨论了如下的一类变系数的中立型时滞差分方程

Δ[anΔ(xn+pnxn-k)]+gnH(xn-t)=0n≥n0

(1)

的振动性。其中an>0，pn,gn∈R，k,t,n0∈Z+且Δ是向前差分算子，即Δxn=xn+1-xn，Δ2xn=Δ(Δxn)。

1 预备知识及主要定理

定义1 如果存在正整数N，对任意的n≥N，若方程(1)都有解xn≥0，那么称{xn}是方程的最终正解，反之称为最终负解。

定义2如果方程(1)的解{xn}既不是最终正解也不是最终负解，则称之为振动的，否则称之为非振动的。

定义3如果方程(1)的所有解都是振动的，则称方程(1)是振动的，否则称之为非振动的。

为了得到二阶中立型差分方程振动解和其渐进性质，我们需要引入如下的假设条件:

(H1) 存在λ≥0，对于几乎所有的u,v≥0，使得H(u)+H(v)≥λH(u+v)成立;

(H2)H(uv)=H(u)H(v)，其中u,v∈R;

定理1若0≤pn≤p<∞，如果条件(H1)-(H3)以及

(2)

成立，则方程(1)是振动的。

证明假设xn是方程(1)的一个非振动解，那么存在n0∈N+，使得当n≥n0时，有xn>0或者有xn<0。

(i)不妨设对任意的n≥n0+k，都有xn>0且xn-k>0，令

yn=xn+pnxn-kn≥n0+k，

则从方程(1)可知

Δ[anΔyn]=-gnH(xn-t)<0n≥n0+k

假设对任意的n≥n0+k有anΔyn<0，由(2)式可以知道，当n≥n0+k时有an>0。那么存在n1≥n0+k与实数c<0，使得当n≥n1时有

(3)

对上式(3)两边同时从n1到n-1求和，则有

即由(2)可得，当n→∞时，

对方程(1)的n取为n-k>0，两边同时乘上H(p)，得到

H(p)Δ[an-kΔyn-k]+H(p)gn-kH(xn-k-t)=0，

(4)

对上式(4)加上(1)，可以得到

Δ(anΔyn)+gnH(xn-t)+H(p)Δ[an-kΔyn-k]+H(p)gn-kH(xn-k-t)=0，

使用(H1)-(H3)，当n≥n0+k+t时，即有

0=Δ(anΔyn)+gnH(xn-t)+

H(p)Δ[an-kΔyn-k]+H(p)gn-kH(xn-k-t)

≥Δ(anΔyn)+H(p)Δ[an-kΔyn-k]+

Qn[H(xn-t)+H(p)H(xn-k-t)]

≥Δ(anΔyn)+H(p)Δ[an-kΔyn-k]+λQnH(yn-t)

≥Δ(anΔyn)+H(p)Δ[an-kΔyn-k]+λQnH(a)。

(5)

对上式(5)，两边从n1=n0+t到n-1求和，则有

则当n→∞时，上式与(H3)矛盾。

(ii) 设当n≥n0都有xn<0，则当n≥n0时，令yn=-xn。由差分算子的线性性质与假设(H2)，则有

Δ[anΔ(yn+pnyn-k)]+gnH(yn-t)=0，

于是利用相似的方法，就可以得到结论，证毕。

定理2若0≤pn≤p<∞，如果条件(H1)-(H3)以及

成立，则方程(1)是振动的。

该庭院位于小区整体建筑最东侧，西靠另一单元建筑，南为大门入口，北侧东侧有围墙，后院面积约为147.3 m2.侧院为狭长通道，宽约4.65 m，长约8.7 m.前院面积较小，长约7 m，宽约4.5 m(图1).从前院经侧院两段连续下沉台阶至后院.该小区庭院共3个部分：前院、侧院和后院(图2).由于占地面积及建筑形式的限制，规划占地为不规则几何形，从规划面积上看，属于小尺度空间景观设计范畴(图3).

证明假设xn是方程(1)的一个非振动解，那么存在n0∈N+，使得当n≥n0时，有xn>0或者有xn<0。不妨设对任意的n≥n0+t，都有xn>0且xn-t>0。

当xn<0时，类似地可以证明。令

yn=xn+pnxn-kn≥n0+k,