基于概念背景的“弧度制”教学设计与思考

◇ 山东 武雪燕

章建跃先生提出数学概念是学生认知的基础，是学生思维发展的重要载体.数学概念往往涉及丰富的数学背景，即引入的必要性与定义的合理性.数学概念的教学应当关注概念产生的背景、提出的过程等环节，帮助学生构建数学概念，发展数学思维.本文以弧度制教学设计为例，就如何在高中数学概念课中关注概念的背景，分享自己的实践与思考.

1 教材分析

弧度制是学生在学习了任意角概念之后，通过探究认识的一种新的度量角的单位，弧度制的引入能为系统学习三角函数奠定基础.本节内容的重点是弧度制的概念、弧度与角度的换算.为什么要引入弧度制，如何引导学生用弧长与半径的比值来刻画角是本节内容需要解决的难点.

2 教学过程

2.1 设置问题，体现必要性

概念课堂的引入要体现数学概念的必要性，借助问题设置，唤起学生探求新知的兴趣.考虑到学生的最近发展区，设置如下问题：

(2)如何比较30°与sin30°的大小?

设计意图从问题中让学生体会角度制的不足，启发学生寻求十进制的度量方法，引入弧度制.

2.2 建构概念，体现合理性

概念的建构过程是培养学生数学思维，发展学生数学素养的关键.以弧度制的发展史进行引导，通过设置问题组，让学生在问题的解决过程中体会弧度制定义的合理性.

数学史：弧度制的发现，是数学家们经历了漫长探索所得的结果.古希腊数学家在制作弦表时，发现了给定半径时弧长与角度的一一对应关系，这种思想正是弧度制的雏形.1748年，瑞士数学家欧拉在他的著作《无穷小分析概论》中明确提出弧度制思想，他提到把圆的半径作为1个单位长度，那么半圆的弧长就是π，这一思想将线段与弧的度量单位统一起来.

问题1设圆心角α＝30°，半径分别为1，2，3，4时，计算对应的弧长l，弧长l 与半径r 有怎样的关系?

设计意图从特殊角出发，让学生在计算的过程中观察、发现规律：圆心角不变时，弧长与半径的比值恒为定值.

问题2一般地，假设圆心角α＝n°，上述关系是否仍成立? 试利用弧长公式进行推理.

设计意图借助几何画板演示，让学生经历从特殊到一般的思维过程，验证弧度制定义的合理性，提升数学抽象、逻辑推理的数学学科核心素养.

类比角度制的定义，给出1弧度的角的定义.有了1弧度的角，就可以衍生出更多的弧度制下的角.

问题3写出下图中α 的弧度数.

图1

图2

设计意图帮助学生理解弧度制表示角的意义，揭示弧度制的精髓.

2.3 单位换算，感受联系性

同一数学对象从不同的角度去刻画，得到的结论往往有内在联系，角度制与弧度制都是角的度量方法，它们之间如何换算呢?

问题分别用弧度制和角度制表示一个圆周角，你能得到角度制与弧度制的换算方法吗?

设计意图借助周角的弧度数，得到角度与弧度的换算公式：πrad＝180°.

事实上，弧度制的引入统一了角与三角函数值的进制，使角的集合与实数集R之间建立了一种一一对应的关系，在此基础上定义三角函数，进而研究函数的图象与性质.

3 几点思考

3.1 借助概念背景，创设教学情境

简洁是数学发展的重要推动力.弧度制的引入，简化了有关公式与运算.本文开头设置的问题(2)来源于数学分析中的重要极限考虑到学生现有的知识水平，对问题进行简化，要比较30°与sin30°的大小，需统一角与三角函数的单位，即寻求十进制的实数来度量角.需要指出的是，尽管在角度制下可以定义三角函数，但三角函数的图象与性质不够简洁，而随着数学分析的发展，弧度制的必要性越来越显著，例如在角度制下正弦函数的导数公式为，比在弧度制下(sinx)′＝cosx要复杂，微积分学的重要极限，在角度制下就变成

3.2 依托概念背景，经历概念建构

概念教学中，教师要引导学生建立与原认知结构中有关概念的联系.从古到今，数学家们历经不懈的努力，找到了用弧长来度量角的思路.本节内容介绍了弧度制的发展历程，让学生沿着弧度制的寻求轨迹，从熟悉的弧长公式入手，经历特殊到一般的研究过程，得出结论并进行验证.整个过程学生充分参与，鼓励学生发现、验证规律，提升数学学科核心素养.

3.3 新旧知识融合，深化概念背景

概念教学中，如果能把新概念纳入原有概念体系中，并达到融会贯通，对学生知识整体性的理解具有重要意义.教师引导学生思考弧度制与角度制的联系与区别，加深理解.事实上，弧度制与角度制有着更为深刻的联系，角度制是将圆周角360°等分，每一份弧长为该弧所对圆心角是1°的角，而弧度制则是将圆周2π等分，每一份弧长为r，它所对圆心角是1rad的角，可见弧度制与角度制都是在圆周等分的基础上，对单位弧长所对应的角进行定义.从这个背景出发，可以解释弧度制在后续的学习中优于角度制的原因，即将圆周2π等分，每一份弧长为r，省略了换算因子使得弧度制下角的研究更为简捷.