“七法”巧解双变元最值题

◇ 吉林 于兴君

在高中数学中，函数或代数式的最值问题是各类考试中比较常见的题型，也是高考中的重要考点.此类问题难度不小，但破解方法较多，常见的方法有基本不等式法、待定系数法、导数法、换元法、柯西不等式法等.本文结合一道二元代数式的最值问题来加以实例剖析，结合多维视角切入.

题目已知正数a，b 满足a＋b＝1，则的最大值为.

角度1基本不等式法

解法1由于正数a，b 满足a＋b＝1，所以

角度2二次函数的图象与性质法

解法2由于正数a，b 满足a＋b＝1，则有a＝1－b(0＜b＜1)，那么0＜b＜1，结合二次函数的图象与性质可知fmax(b)＝此时

角度3换元法

解法3由于正数a，b 满足a＋b＝1，可设a＝所以

角度4柯西不等式法

解法4由于正数a，b 满足a＋b＝1，所以

角度5因式分解法

解法5由于当x 为正数时，(2x－1)2≥0，则4x2－4x＋1≥0，即4x2＋5x＋1≥9x，(x＋1)(4x＋1)≥9x，故，当且仅当时，等号成立，所以当且仅当时，等号成立.

角度6三角换元法

解法6由于正数a，b 满足a＋b＝1，设a＝所以

当且仅当sin22α＝1，即时，等号成立.

角度7导数法

解法7由于正数a，b 满足a＋b＝1，则a＝1－b(0＜b＜1)，那么则令f′(b)＝0，即解 得所以fmax(b)＝此时