分析向量问题审题环节的易错点

◇ 山东 关 莹 王培先

向量知识不仅内容抽象，而且表征形式多样、解题技巧灵活，然而，审题作为成功解决向量问题的关键和基础，却并没有引起学生的足够重视.“成也审题，败也审题.”学生常常忽略审题对解决向量问题的关键作用，从而导致不能充分、系统地理解题意，遇到一些难度较大的问题时就会感到无从下手.

1 概念模糊、曲解题意

例1已知正△ABC 的边长为1，求

错解根据公式a·b＝|a||b|cosθ，可得

剖析从向量夹角的定义分析，两向量之间的夹角并不是向量所在直线的夹角，其夹角计算的前提是两向量的起点要重合，也就是与的夹角不是60°，而是120°.

易错防范注意辨别相关概念之间的区别，深入理解向量与实数、向量与平面几何、点的坐标与向量的坐标、向量夹角等知识，在审题时，切勿生搬硬套公式进行盲目求解.

跟踪训练已知A(3，7)，B(5，2)，将按照向量a＝(1，2)平移后，所得向量的坐标为( ).

A.(3，－3) B.(2，－5)

C.(0，4) D.(1，－7)

正解B.

易错点要注意点的平移与向量平移之间的区别，一个向量无论怎样平移，均表示同一个向量.

2 忽略隐含条件

例2已知a＝(1，2)，b＝(1，1)，且a 与a＋λb的夹角为锐角，试求实数λ 的取值范围.

错解令a 与a＋λb 的夹角为，由于a·(a＋λb)＝|a|·|a＋λb|cosθ＞0，代入相关数值后可得

剖析向量a 与a＋λb 的夹角为锐角的充要条件是a·(a＋λb)＞0，且a 与a＋λb 不共线，在上述审题过程中忽略了题目中必须成立、含而未说的条件，即a 与a＋λb 不共线，λ≠0，故而导致解题错误.

易错防范在审题环节中应充分挖掘隐藏在向量定义和性质中的条件.

跟踪训练已知四边形ABCD 中，，若a·b＝b·c＝c·d＝d·a，判断四边形ABCD 的形状.

正解因为a＋b＋c＋d＝0，所以

易错点易忽略四边形ABCD 中a＋b＋c＋d＝0这个隐含条件.

3 遗漏条件

例3已 知△ABC 中K)，若△ABC 中有一个角是直角，求实数K 的值.

错解因为△ABC 是直角三角形，故0，求得K＝－2.

剖析无形中增加了∠A 是直角这个条件.

易错防范审题时应深入理解题目中的各类信息，不要擅自增加已知条件中没有的或不能由已知条件推出的条件，每一步都要做到有理有据，同时要避免考虑问题不够全面，遗漏题目中的细节.

跟踪训练已知平面向量a，b，c 两两之间所成角相等，并且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，则|a＋b＋c|的值为.

正解当a，b，c 共线且同向时，|a＋b＋c|＝|a|＋|b|＋|c|＝6.

当a，b，c 皆为非共线向量时，|a＋b＋c|2＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝3.

易错点受思维定势造成的影响，容易忽略a，b，c 共线且同向的情况.