带电粒子在圆形匀强磁场中的运动规律

◇ 山东 陈 强

带电粒子在磁场中的运动问题是每年高考必考内容.圆形匀强磁场区域具有一定的特殊性，只要将带电粒子的初速度和进入圆形匀强磁场的位置略作变化，便可构成情境各异的全面考查学生学科知识和学科素养的综合题.本文就带电粒子在圆形匀强磁场中的运动问题作一浅析.

1 带电粒子在圆形匀强磁场中运动的基本规律

例1如图1所示，圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子以速度v 从A 点沿直径AOB 方向射入磁场，经过Δt时间从C 点射出磁场，OC 与OB 成60°角.现将带电粒子的速度变为v/3，仍从A 点沿原方向射入磁场，不计重力，则粒子在磁场中的运动时间变为( ).

A.Δt/2 B.2Δt C.Δt/3 D.3Δt

图1

带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，据牛顿第二定律有qvB ＝可得且由几何关系知tan30°＝R/r(R 为区域圆半径)，如图2 所示.粒子在磁场中运动的时间变).当粒子速度减小为v/3后，其在磁场中的轨道半径变为r/3，若粒子从D 点射出，由图2可得几何关系因此圆弧AD 所对应的圆心角∠AO2D ＝120°，故粒子在磁场中运动的时间答案为B.

当带电粒子沿着圆形匀强磁场区域圆半径方向进入磁场时，由图3可知，粒子必定沿着半径方向射出磁场，且满足几何关系tanθ/2＝R/r(其中θ 是轨迹圆弧所对应的圆心角.R 是圆形匀强磁场区域半径.r 是带电粒子做圆周运动的轨道半径(r＝mv/qB).同时注意以下两条规律：

规律1如图3所示，轨迹与圆形磁场两个交点连线AB是公共弦，公共弦AB 的中垂线过圆形区域磁场边界圆和运动粒子轨迹圆圆心，轨迹关于中垂线对称.

规律2如图3 所示，粒子速度的偏向角(∠BOC)等于圆心角(∠AO1B)，并等于AB 弦与切线的夹角(弦切角∠BAC)的2倍.

图3

2 带电粒子在圆形匀强磁场区域运动时的磁聚焦和磁发散

例2如图4，圆O 表示一圆形有界匀强磁场，一带负电粒子(不计重力)从圆上A 点射入磁场，磁场半径为R，若带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径也为R，试证明粒子从圆上C 点出磁场的方向CE 与区域圆上A点的切线平行，即AD∥CE.

图4

证明如图5，作粒子在A 点速度的垂线，可找出粒子做匀速圆周运动的圆心为O1，分别连接AO、OC、CO1、O1A，组成一个菱形，因为AO ∥CO1，且AD ⊥AO，CE⊥CO1，所以AD∥CE.

图5

规律3带电粒子从圆形有界匀强磁场边界上某点射入磁场，如果圆形匀强磁场的半径与粒子运动轨迹圆半径相等，则粒子的出射速度方向与圆形匀强磁场上入射点的切线方向平行，如图6，称之为磁发散.反之，平行射入圆形有界磁场的相同带电粒子，都从磁场边界上的同一点射出，并且出射点切线与入射速度方向平行，如图7，称之为磁聚焦.

图6

图7