素数个数公式

2020-08-15安华杰安福臻河北省吴桥县何庄乡大魏中学河北沧州06800河北省吴桥县人民医院河北沧州06800

数学学习与研究 2020年10期

关键词：素数偶数整数

◎安华杰安福臻（．河北省吴桥县何庄乡大魏中学，河北沧州 06800；．河北省吴桥县人民医院，河北沧州 06800）

一、预备定理

Pi表示素数，i 为自然数，P1是偶素数2，P2是奇素数3，P3是奇素数5，P4是奇素数7，P5是奇素数11……

定理1：在自然数中，按素数顺序，到削去Pi的各倍数时，削去的第一个数是

证明：Pi的各倍数是：2Pi，3Pi，4Pi，5Pi，6Pi，7Pi，8Pi，9Pi，10Pi，11Pi，12Pi，13Pi，14Pi，15Pi……（Pi-1）Pi，（Pi＋1）Pi……

推论：在自然数中，削去Pi的各倍数后，前未被削去的数都是奇素数（1，2 除外）．

定理2：削去Pi的各倍数，到自然数N（N≥）削去数的个数等于Pi至除以Pi除不尽时，其商取只舍不入的整数值）未被Pi-1削去数的个数．

证明：因为不按素数顺序先削去Pi的各倍数时，到N削去的最后一个数是Pi的m 倍除以Pi除不尽时，其商取只舍不入的整数值)，所以不按素数顺序先削去Pi的各倍数是：2Pi，3Pi，4Pi，5Pi……（Pi-1）Pi，，（Pi＋1）Pi……（m-1）Pi，mPi．

因为按素数顺序，到削去Pi的各倍数时，削去的第一个数是

所以按素数顺序削去Pi至Pi-1的各倍数后，以前的各数2Pi，3Pi，4Pi，5Pi……（Pi-1）Pi都已被削去了．

所以削去P1至Pi-1各倍数后，在Pi，Pi＋1，Pi＋2，Pi＋3……（m-3），（m-2），（m-1），m 这一列连续的自然数中，凡不是被削去的数，它们和Pi的各积到削去Pi的各倍数时才能被削去．

因此，削去Pi的各倍数时，到自然数N（N≥）削去数的个数等于Pi至除以Pi除不尽时，其商取只舍不入的整数值）未被Pi-1削去数的个数．

二、素数个数公式

1．素数个数准确公式：

2.缺乏高素质的管理人员和技术人员。在煤炭企业健康发展的过程中，一线员工发挥了重要作用，是不可或缺的组成部分。但是由于煤炭行业工作环境较为艰苦，而且人才引进机制不完善，导致企业难以引进高素质技术人才，基层员工在技术与综合素质方面还有待提升。在此大环境下，虽然煤炭企业已经着手加大人才引进力度，但在培训工作方面开展的并不顺利，造成煤炭企业技术人员与管理人员虽然能够胜任岗位，但是还不够优秀，对于工作中遇到的难题不能第一时间进行解决，在某种程度上限制了煤炭企业的正常运行，不利于煤炭企业的全面、健康发展。

在1，2，3，4，5……N 一列自然数中削去2 的各倍数时，削去了2 除外的各偶数，所以削去2 的各倍数后到N 未被削去数（1 除外）的个数为奇数时，其商取只入不舍的整数值）．削去3 的各倍数时，到N 削去数的个数＝3 至未被2 削去数的个数．削去5 的各倍数时，到N 削去数的个数＝5 至未被3 削去数的个数……一般地，削去Pi的各倍数时，到N 削去数的个数＝Pi至未被Pi-1削去数的个数．Pi至未被Pi-1削去数的个数表示为商，简记为时，削去Pi的各倍数后到N 的素数个数用Pi（N）表示，则素数个数准确公式为：

练习：利用素数个数准确公式求下列各偶数以内素数的个数．

讨论：对于这个公式有必要进行讨论，一方面讨论它的纯粹性，另一方面讨论它的完备性．

纯粹性：在1 至N 一列自然数中削去各素数的各倍数时，“1”总不被削去．因为“1”不是素数，所以要在公式里减去1．完备性：在1 至N 一列自然数中削去各素数的各倍数时，2 作为素数2 的一倍数被削去，3 作为素数3 的一倍数被削去，5 作为素数5 的一倍数被削去，…，Pi作为素数Pi的一倍数被削去，所以要在公式里加上i．

练习：利用素数个数近似公式求下列各偶数以内素数的个数．

（1）10 （2）100 （3）210 （4）500 （5）1000

所以在1 至10 一列自然数中素数的个数