与反比例函数图像有关图形面积问题求解策略

◎朱 光 （长沙市田家炳实验中学，湖南 长沙 410000）

反比例函数中所涉及的知识面广，考查的内容比较多，具有较强的可挖掘性，是对学生数学综合能力的考验，进而在最近几年已经一度成为中考数学的重要考点内容．在反比例函数中可以借助相关的数值求出三角形面积，反比例函数的图像是双曲线，而k 的值是双曲线上点的横坐标与纵坐标的乘积，过双曲线上的任意一点向x 轴作垂线，最后将该点、垂足以及坐标原点构成三角形，可以发现所构成的三角形面积全都相等．可以借助求解三角形的面积引导学生学习矩形面积，将反比例函数的学习与图形面积学习相结合．

一、利用图形面积求反比例函数的系数k

反比例函数是现今中考数学当中的热点问题，尤其是和反比例函数相关的图形的面积问题，这类问题在中考的数学试卷中频繁出现．因为与反比例函数图像有关的图形面积问题不仅仅是考查学生对数形结合思想的应用情况，还考查学生对转化化归、函数和方程思想的学习情况．和反比例函数图像有关的基本图形和基本图形的变式图在基础题和综合类题中出现的频率极大，所以学生在复习时要重视与反比例函数图像有关的图形面积问题，而解决这类问题最重要的就是要利用好图形的面积对反比例函数的系数k 进行求值．

例1如图所示，直线y ＝cx 与反比例函数的图像相交于A，B 两点，过点B 作BC 垂直于x 轴，垂足为C，连接AC，假设S△ABC＝1，则反比例函数中的系数k 的值是多少？

解析在看到这道题之后，首先可以明确题目中的已知条件为S△ABC＝1，而需要解答的问题是求反比例函数中k的值，接下来可以引导学生回想与k 相关的代数式，将三角形的面积运用代数式表达出来，从而形成关于k 的代数式，进而将k 的值求出．不过，大多数学生在解题过程中一贯使用传统的解题思路，主要是先求A，B 两点的坐标，再求出BC 与高的值，如果运用这种解题方法，该题的复杂度会随之增加［1］．在这种情况下，可以让学生对图形进行观察，然后引导学生运用图形面积解答问题．经过观察可以发现△BOC 与△AOC 之间存在一定的关系，两者之间的共同点主要是底边相同，并且高也相等，而△ABC 是由两者共同组成．由此，我们可以得出S△ABC＝S△BOC＋S△AOC＝1，进而可以得出S△BOC＝S△AOC．然后根据已知条件S△ABC＝1，可以得出最后根据反比例函数与△OBC 的面积关系得，进而可以算出k ＝1，然后我们从该题的图像中可以具体看到该反比例函数的图像位于一、三象限，最终得出反比例函数的系数k 的值为1．通过该题的解答可以分析得出此种形式的题需要借助三角形面积与面积之间的转化，然后利用反比例函数与三角形之间的明显关系，最终得出反比例函数的系数k 的值［2］．这种涉及图形的反比例函数比较常见，教师在教学过程中需要仔细研究，并结合学生日常的解题习惯进行教学．

二、利用图形面积与反比例函数的解析式求解其他问题

例2如图所示，在平面直角坐标系中，反比例函数y ＝的图像与y＝kx＋1 的图像在第一象限中相交于C 点，过C点向坐标轴作垂线CD，CF，最终可以得出正方形CDOF，要求根据题目中的已知条件得出一次函数的解析式［3］．

解析在进行一次函数的解析式的解答中，可以让学生以正方形与反比例函数图像之间的关系为题目的突破口，进而算出C 点的具体坐标．首先，我们可以对C 点进行假设，假设C 点的坐标为（a，b），由已知条件可以得出C 点在反比例函数的图像上，然后我们可以得出ab ＝9，此时可以让学生对图形进行观察，观察得出四边形CDOF的边长相等，为正方形，所以可以得出a，b 值相等，a2就等于9，由此可以得出a ＝3 或者a ＝-3，然后将题目的解答引导到图形中，可以看出C 点在第一象限中，也就得出C 点坐标为（3，3）．最后因为C 点在一次函数y＝kx＋1 的图像上，将点C 的坐标代入函数解析式中，最终可以得出

三、利用图形面积与反比例函数的解析式求解

这些年来，全国各地的中考试卷中都或多或少地涉及了与反比例函数图像有关的图形面积问题．从表面来看，与反比例函数图像有关的图形面积问题涉及的图形变化较多，样式繁杂，从这类题目考查的知识点上来讲，与反比例函数图像有关的图形面积问题通常把反比例函数、相似三角形和图形变换等知识点结合在一起，是具有很强的综合性的题目．从这类题的解题方法上来看，这类题因为涉及的知识点较多，所以它的解题方法也有很强的灵活性，这就导致想要更好地解答这类题目，不仅需要牢固地掌握反比例函数的相关知识，还需要对三角形、四边形等一些与反比例函数图像有关的图形面积问题中涉及的图形相关的知识点有一定程度的了解和掌握．下面将从三角形、矩形、平行四边形以及圆等图形着手，归纳一些这类问题的解题策略．

（一）三角形的面积

在解决与反比例函数图像有关的图形面积问题中涉及的图形是三角形这一类的问题时，不仅需要掌握反比例函数的相关知识，还需要对三角形的面积公式以及相似三角形的一些性质等有一定程度的了解，这样才能够很好地解决这类问题．

（二）矩形的面积

当遇到与反比例函数图像有关的图形面积问题中的图形是矩形时，我们通常会使用矩形的面积公式和特殊矩形的相关性质进行解题．

（三）平行四边形的面积

在解决与反比例函数图像有关的图形面积问题中涉及的图形是平行四边形这一类的问题时，我们通常会使用平行四边形的面积公式和特殊平行四边形的相关性质进行解题．

四、圆及其他图形的面积

在解决与反比例函数图像有关的图形面积问题中涉及的图形是圆或者其他图形这一类的问题时，我们能够利用特殊图形的相关性质和将图形进行变换去求解，或者使用一些和圆的面积的和差去表示一些不特殊的图形的面积．

在进行反比例函数和几何图形面积的相关教学时，最重要的就是让学生彻底了解和掌握反比例函数中k 的意义，其次就是让学生能够更好地运用反比例函数的图像和相关的性质去解决一些综合性较强的问题．在整个解决与反比例函数图像有关的图形面积问题的教学过程中，让学生自己试着在反比例函数的图像上任取一点P（x，y），再过点P 作x 轴和y 轴的垂线，进而深入思考x 轴和y 轴与垂线在坐标系上形成的矩形和三角形的面积与反比例函数中k值的关系．本节课的教学重点就是让学生们能够对反比例函数的图像进行分析，以更好地解决实际问题．而且，因为已经学习过了函数的概念，所以学生们能够对反比例函数的概念有一个初步的了解．教师重点教学的反比例函数的解题方法主要是画图像法．通过观察图像的性质，结合函数的变化规律、特殊值的位置等将反比例函数归类，并提出相关的问题让学生自主研讨．这种教学方式能够帮助学生更好地利用反比例函数解题，通过对反比例函数的归类，灵活地运用已经学过的相关解题方式，而自主地研讨能够更好地提升学生的自主学习能力，还能让学生学习到的知识掌握得更加牢固．

解析：由已知，点A，B，C，D，E 这五个整点的横、纵坐标均为正整数，且这五个点都在反比例函数的图像上，所以这五个点的横、纵坐标的乘积为16．因为16 ＝1×16 ＝2×8＝4×4，所以结合图像可知点A，B，C，D，E 的坐标依次为（1，16），（2，8），（4，4），（8，2），（16，1）．每个橄榄形的面积可以看成以正方形边长为半径的半圆的面积与这个正方形的面积之差．设正方形的边长为m，则这个正方形内部的橄榄形的面积为

结束语：根据上文描述得知，为了降低学生在有关反比例图形题目的解答中的难度，增加此类题目的正确率，节省题目的解答时间，教师在进行与反比例函数有关的图形面积教学过程中，首先，应该让学生明确反比例函数中k 的具体意义，然后通过矩形基本特征图形面积等于k 以及直角三角形基本特征图形面积等于k 的一半的基本理论，让学生对复杂的题型进行解题思路的转变．此外，在数学解题过程中要锻炼学生的观察能力、思维能力以及探索能力，在数学学习过程中，只有具备这些能力才能有效地解决问题．