以教学设计为载体落实数学学科核心素养
2020-08-14侯向艳
侯向艳
数学学科核心素养的培养需要长期的坚持，数学教师需要将学科核心素养的培养渗透到每节课的教学设计中，本文以用向量法求空间角的教学设计为例来初探如何在高中数学课堂中渗透学科核心素养。
1 课标要求
用向量法求空间角选自普通高中课程标准实验教科书数学人教A版选修2-1第三章第二节第三课时，课标要求：能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角问题，并描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用。
2 教学目标
1）探究空间向量求异面直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算方法。
2）掌握用向量方法解决空间角的计算方法及其应用。
3）通过向量这个载体实现“几何问题代数化”的思想，进一步让学生感受数形结合的思想和方法的应用。
4）教学重点：用向量法求空间角。
5）教学难点：用向量法求二面角。
3 学情分析
学生已有知识结构：
1）空间中三种角的概念，用几何法求空间角的方法。
2）空间向量数量积公式、夹角公式。
学生的心理准备：
用几何法求空間角，需要找出空间角并计算，有时需要较强的空间想象、逻辑推理和作图能力，学生迫切希望有新方法克服这些障碍顺利求解空间角。
4 教学过程
4.1 复习引入
引例：在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，求二面角的大小。
设计目标：用几何法求空间角此题时，比较困难，激发学生探究新知识欲望，落实逻辑推理、直观想象的素养。
4.2 探究新知识
探究一：异面直线所成的角
异面直线l1，l2的方向向量分别为，，l1与l2所成的角θ，
思考：与的关系？计算方法：____________________
探究二：线面角设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为，直线l与平面α所成角θ，
思考：与的关系？ 计算方法：_____________________
探究三：二面角
，分别是两个半平面α，β的法向量，二面角的大小θ，
思考：与的关系？
计算方法：__________________________
设计目的：归纳用向量法求空间角的一般步骤：把空间角转化为向量角。总结用直线的方向向量求线线角的方法;用直线的方向向量和平面的法向量线面角的方法;二面角既是本节课的重点又是难点，法向量的方向一进一出，二面角等于法向量的夹角，同进同出，二面角等于法向量夹角的补角，通过法向量的夹角求解二面角，突出重点，用数形结合等方法渗透直观想象、数学抽象的素养，同时用归纳的思想渗透逻辑推理的素养。
4.3 学以致用
知识应用：在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，
（1）求异面直线与所成角的大小，
（2）求直线与平面所成角的大小，
（3）求二面角的大小。
设计目的：学生自主做题，展示成果，加深学生对向量法求空间角计算方法的理解。课前引入学生已经用几何法求解了该题，总结几何法、向量法各自的特点，体会向量在解立体几何中的作用。落实逻辑推理，数学运算，直观想象，数学抽象的素养。
知识拓展：在上题中，是上的点且.求二面角的余弦值。
设计目的：二面角锐、钝几何图形观察不出来时，法向量的方向一进一出，二面角等于法向量的夹角，同进同出，二面角等于法向量夹角的补角，突破难点，培养学生直观想象和数学抽象素养。
4.4 课堂小结
4.4.1 课堂知识体系构建
4.4.2 方法归纳
（1）思维方法：转化化归思想，数形结合思想。
（2）记忆方法：
法向量的方向一内一外，二面角等于法向量的夹角。
法向量的方向同内同外，二面角与法向量的夹角互补。
（3）解题方法：利用向量角求解空间角。
设计目的：总结归纳，帮助学生构建知识体系，落实数学抽象素养。
总之，在日常的教学中，教师应该结合不同的教学课题，设计有梯度，科学合理的问题，培养学生各个层面的学科核心素养，教师要设计有效的教学设计，以学生为主体，服务于学生，在每一节课中落实和渗透学科核心素养，解构教学细节，促进学生思维的发展，最终实现提高学生核心素养的终极目标。
（作者单位：巴彦淖尔市第一中学数学组）
