例谈在高考数学二轮复习中微专题的设计策略

◇ 广东 张晓华

高三数学的二轮复习是使知识系统化、条理化的关键时期,也是提升学生素质、发展能力的关键时期,要提升效率就必须在细节上下功夫,经笔者研究发现微专题是行之有效的方法.微专题是指立足于学情、教情、考情,选择一些切口小、角度新、针对性强的微型复习专题,也可以是一个相关联的、可以单独研究的知识体系,或者某种数学思想方法,力求解决复习课中的真问题、小问题和实问题,可以避免二轮复习中出现“一错再错”“一讲再讲”的低效状况.

1 微专题设计原则

1)针对性.微专题解决的是学生遇到思维障碍或方法盲点中的共性问题,或是高考试题中所出现的新热点和难点问题,因此,在专题设计前要有明确的目标意识,以问题解决为导向,问题目标清晰、具体、易于落实,精选典型例题,经过层层铺垫,逐渐深入,最终达到预期的目标.

2)时效性.在二轮复习中学生会进行大量的训练和测试,教师要做有心人,根据学生答题效果,及时发现班级共性问题,及时分析、总结,精心设计微专题,及时“介入”,趁热打铁,才不会“延误病情”.如果教师对学生的共性问题反应迟缓,就会错过及时纠偏的好时机,即使亡羊补牢,效果也会大打折扣.

3)小型性.微专题强调微小,但“小而精”,知微见著.微专题入口小、容量小,以适合一节或两节课解决的问题为主,例题选择不求多但求精,常常要对例题适当“瘦身”,只有这样才能达到高效和实用的效果,一定要注意与二轮大专题复习的区别.

4)可发展性.在满足了前三点后,微专题的意义基本实现.但在二轮复习阶段,小目标解决后的反思和升华显得尤为重要.从2019年高考试题不难发现,高考不仅要求学生具备基础知识和解题能力,还应该在思维上有一些创造性和创新性的发展.因此,在例题的设置和顺序的编排上,需从单一到综合,将对比、变式、多解等方法灵活运用,使我们微专题的目标体现更突出、更多维,能启发学生联想、提炼与高中数学其他知识的横向联系,分析在高中数学思想方法中的位置等,不断升华.

2 微专题设计方法

1)从学生遇到的难点中设计微专题

解决学生解题中的难点是设计微专题的一个着力点.确定目标后,需要设计微专题的选例,一般采取由易到难的原则.选择一个相对起点低的例题,让学生理解相应知识和方法,层层递进,逐步达到难点解决所需要的高度.

例1在矩形ABCD中,AB＝3,AD＝4,点P是平面ABCD内一点,且PA＝2,PC＝21,则PB→·＝________.

这是一道笔者用过的月考试题,该题难度系数只有0.2,但学生反映花了很多时间进行求解,部分学生似乎有思路却又算不出来.很多学生看到矩形马上建立坐标系用向量坐标化的方法求解,但发现点P坐标无法确定,从而部分学生又用两点距离公式求P的坐标,部分学生还想到以A和C为圆心建立圆的方程求交点P,还有学生想到用向量间线性关系转化PB→·,但由于涉及的向量太多而放弃.

该题是以极化恒等式为背景的一道向量综合题,在高考、数学竞赛和模拟考试中常常能看到它的身影,在二轮复习时有必要设计一个微专题进行讲解.例如,选3道例题,分别取自于高考试题和模拟试题,从简单到复杂,从有中点到题中没有直接给中点,再到形如例1的试题.运用极化恒等式求解,难度逐级抬升,学生能较好地理解这个定理,并能自觉地运用定理,还能总结什么时候用该定理,对向量数量积的求法有了一个更完整的体系,能力得到升华.

例1的选例(1)：(2012年浙江卷)在△ABC中,M是BC的中点,AM＝3,BC＝10,则·的值是________.

例1 的 选 例 ( 2)：(2016 年 江 苏 卷)如 图1 ,在△ABC中,D_是BC的中点,E,F是AD_上的两个三等分点的值是________.

例1的选例(3)：如图2,正△ABC内接于_半径为1的圆O,点P是圆O上的一个动点,则PA→·PB→的取值范围是________.

图1

图2

2)从高考创新题型中设计微专题

每年高考的创新题型总能引起热议,会出现各种新颖的解法和思想背景的分析.根据笔者多年的经验,创新题型的再次出现是大概率事件.例如,2012年全国卷中出现的“光线反射”问题,紧接着在2013年湖南卷中再次出现,而且都是压轴题.

例2(2012年全国卷)四边形ABCD是边长为1的正方形,点E是AB边上的一定点,点F是BC边上一定点运动的点P自点E开始沿着直线往点F运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当点P第一次碰到E时,P与正方形的边碰撞的次数为.

例3(2013年湖南卷)在等腰直角△ABC中,AB＝AC＝4,点P是边AB上异于A,B的一点,光线从点P出发,经BC,CA发射后又回到点P(如图3).若光线QR经过△ABC的重心,则AP为( ).

图3

3)从学生易错点中设计微专题

二轮复习时在概念理解、定理运用、方法步骤、隐含信息等方面都可以发现学生的易错点.例如,在复习概率时学生在一些概念的认识上仍然模糊,学生对于有放回与无放回、有序与无序等概率的计算模棱两可,错误率高,因此需针对该问题仔细设计选例,突出具体概念上细微的差别,引导学生再次理解概念的本质和区别,启发学生抓关键字眼进行分析.

例4从一批有10 个合格品与3 个次品的产品中,一个一个地抽取,设各个产品被抽到的可能性相同,若每次取出的产品都不放回该产品中,试求取到合格品为止时所需抽取次数ξ的分布列.

例4的选例(1)：从一批有10 个合格品与3 个次品的产品中,一个一个地抽取,设各个产品被抽到的可能性相同,若每次取出的产品都放回该产品中,试求3 次抽取中,前2 次取到次品,第3 次取到合格品的概率.

例4的选例(2)：从一批有10 个合格品与3 个次品的产品中,一个一个地抽取,设各个产品被抽到的可能性相同,若每次取出的产品都放回该产品中,试求3 次抽取中,有2 次取到次品,1 次取到合格品的概率.

例4的选例(3)：从一批有10 个合格品与3 个次品的产品中,一个一个地抽取,设各个产品被抽到的可能性相同,若每次取出的产品不放回该产品中,试求3 次抽取中,有2 次取到次品,1 次取到合格品的概率.

4)从教材习题中设计微专题

教材的习题是可以不断挖掘的宝藏.2019年高考全国卷Ⅰ理科的第21 题是概率与数列综合的压轴题,知识跨度大,对递推数列的化归处理能力要求较高.纵观教材,发现也有这样的问题(如例5,它是一个二阶线性递推数列求通项的经典题目,考查整体运算和化归转化思想).因此,设计微专题可以通过一题多解的方式学习凑配法、待定系数法、特征根法等.

例5(人教A 版数学《必修5》第二章复习参考题B组第6 题)已知数列 {an}中,a1＝5,a2＝2,an＝2an－1＋3an－2(n≥3),对于这个数列的通项公式作一研究,能否写出它的通项公式?

例5的选例(1)：(2009年全国卷Ⅱ)设数列{an}的前项和为Sn,已知a1＝1,Sn＋1＝4an＋2.

(1)设bn＝an＋1－2an,证明 {bn}是等比数列;

(2)求数列 {an}的通项公式.

例5的选例(2)：(2013年安徽卷)设数列{an}满足a1＝2,a2＋a4＝8,且 对 任 意n∈N*,函数f(x)＝(an－an＋1＋an＋2)x＋an＋1cosx－an＋2sinx满足f′()＝0.

(1)求数列 {an}的通项公式;(2)略.

例5的选例(3)：(2019年全国卷Ⅰ 理科第21 题删减)已 知pi(i＝0,1,…,8),p0＝0,p8＝1.pi＝0.4pi－1＋0.5pi＋0.1pi＋1(i＝1,2,…,7).

(1)证明：{pi＋1－pi}(i＝1,2,…,7)为等比数列;

(2)求p4.

微专题能较好地契合高考命题“基础性、综合性、应用性、创新性”的四翼要求,能有效解决二轮大专题复习口径大的问题.教师应做个“有心人”,时刻关注学生、关注高考,处处都有好“切口”,设计好题组,把教学内容微专题化,把微专题讲好练透,促进学生的知识体系、能力体系的建构,提升学生的思维能力,提高学生的应用能力.