一道等比数列求和题的变式探究

◇ 江苏 刘 琳

近些年的高考数学试题中,经常会出现一些由课本例题、习题等变式拓展出来的问题,这类问题大都是按照一定的数学规则和要求,结合相关知识加以变式、创新拓展.数列知识由于其特殊性,经常是数学拓展的一大热点.

题目(北师大版《必修5》第31页习题1-3B 组第3题)一个等比数列前n项的和为48,前2n项的和为60,则前3n项的和为( ).

A.83 B.108 C.75 D.63

解法1(性质法)由等比数列前n项和公式的性质知,Sn,S2n－Sn,S3n－S2n为等比数列,即48,60－48,S3n－60成等比数列,所以122＝48(S3n－60),解得S3n＝63,故选D.

点评

利用等比数列的前n项和的性质求解更简捷,易错之处在于误把Sn,S2n,S3n当成等比数列求解.

解法2(特殊值法)令n＝1,由已知条件有a1＝48,S2＝a1＋a2＝60,解得a2＝12,那么则S3＝a1＋a2＋a3＝63,故选D.

点评

特殊值法非常巧妙地从特殊值n＝1 入手,把一般性的问题转化为等比数列的前三项的关系来处理,计算量小,方法简单.

解法3(公式法)根据题目条件可知S2n＝60≠2Sn＝96,故q≠1,则有

点评

利用等比数列的前n项和公式,通过列方程组求解,再利用参数之间的整体关系来处理与求解.运算量较大,过程较繁杂.

解法4(比值法)根据题目条件可知S2n＝60≠2Sn＝96,故q≠1,则有

点评

将等比数列求和公式的比值性质加以转化,结合整体思维,解答更加方便快捷.

变式1已知各项均为正数的等比数列的前5项之和为3,前15项之和为39,则该数列的前10项之和为_______.

解析

由等比数列前n项和公式的性质可知,Sn,S2n－Sn,S3n－S2n为等比数列,即3,S10－3,39－S10成等比数列,所以(S10－3)2＝3(39－S10),解得S10＝12或S10＝－9,由于该等比数列的各项均为正数,故S10＝12.

点评

变式1与课本习题相似,把数列前n项和具体化,学生更容易接受,通过转化对应和项的角度来处理,达到变式与应用的目的.

变式2各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn＝2,S3n＝14,则S4n为________.

解析

由等比数列前n项公式的性质知,Sn,S2n－Sn,S3n－S2n为等比数列,即2,S2n－2,14－S2n成等比数列,所以(S2n－2)2＝2(14－S2n),解得S2n＝6或S2n＝－4,由于该等比数列的各项均为正数,故S2n＝6,又由于S2n－Sn,S3n－S2n,S4n－S3n为等比数列,即4,8,S4n－14 成等比数列,所以82＝4(S4n－14),解得S4n＝30.

点评

变式2从更高层次深入,通过前n项和式的关系及对应的和项的角度使问题获解.

在数学问题得以破解后,我们可以进一步对一些典型的习题进行一些探究,从各个不同的知识、方法、能力等层面进行深入的思考,采用不同的破解方法加以分析与处理.从而帮助我们更深入地理解、掌握和研究相应的数学问题,熟练掌握数学知识与数学方法,拓宽数学基础知识,切实提高数学能力,举一反三,融会贯通.