活跃在各类试题中的代换法

广东省云浮市云浮中学(527300) 成永深

上海市行知中学(201999) 范广哲

本文将从一道武汉大学自招题的另解出发,探究代换法的作用技巧,以及代换法的种类,给出消元、代数对称代换、三角形恒等式代换、三角对称代换等四类代换思想,希望给学生们带来帮忙.

1 消元

例1(2018年武汉大学自招不等式证明题)

已知a,b,c≥0 且ab+bc+ca=1,求证:

此题有不少读者给出相应的解法,笔者给出消元调整法,希望对读者有所帮忙.

证明不妨设c=max(a,b,c),根据条件,有于是

即(a+b)2ab≤2(1－ab)，因为所以于是

例2已知a,b,c＞0 且a+3b+c=9,求a+b2+c3的最小值.

解根据题意,有a=9－3b－c,则

所以欲使原式取得最小值,则需要c2＜1,而此时

故

评注以上2 例以“消元”思想达到解题效果.

2 代数对称换元

例3设实数a,b＞0 且a+b=k,求使

解设其中则题中不等式即

整理得

例4已知a,b≥0 且a+b=1,求的取值范围.

解设则

当u=0,a=b=pmax=2

评注设实数a,b＞0 且a+b=k,其中k为定值,均可代换

3 三角形恒等式代换

例5已知a,b,c＞0 且a2+b2+c2+2abc=1,求证:

证明由ΔABC三内角A,B,C满足恒等式

而题中0＜a,b,c＜1,因此可以考虑设

则

则不等式等价于

而

由三角形恒等式ΔABC三内角A,B,C满足恒等式

可以联想问题:已知在ΔABC中,sinC=2 cosAcosB,求cos2A+cos2B的最大值.

解由于ΔABC三内角A,B,C满足恒等式

得,

因为C ∈(0,π),所以当且仅当时取等号,故cos2A+cos2B的最大值为

例6(中等数学2019年第三期613 问题)设a,b,c＞0且a2+b2+c2+abc=4,求证:a2b2+b2c2+c2a2+abc≤4.

证明由ΔABC三内角A,B,C满足恒等式

及a2+b2+c2+abc=4,可设a=2 cosA,b=2 cosB,c=2 cosC.等价于设由不等式(x+y)2≥4xy,得即

从而

整理得a2b2+b2c2+c2a2+abc≤4 证毕.

类似问题[1]:已知a,b,c＞0 且a2+b2+c2+abc=4,求证:2＜a+b+c≤3.

证明由ΔABC三内角A,B,C满足恒等式

及a2+b2+c2+abc=4,可设a=2 cosA,b=2 cosB,c=2 cosC,一方面,

可知

即

则

故a+b+c＞2.

另一方面,

综上可知,2＜a+b+c≤3.

进一步证明安振平新浪博客4945 问题设a,b,c≥0 且a2+b2+c2+abc=4,求证:a3+b3+c3+2abc≥5.

证明依题意知,a,b,c不同时为零,若a,b,c中任意两个为零时,不等式a3+b3+c3+2abc≥5 恒成立,若a,b,c中任意一个为零时,由ΔABC三内角A,B,C满足恒等式

设a=2 cosA,b=2 cosB,c=2 cosC,

即

因为

这一结论上面已证明,也比较容易的.

由(1),(2),(3)得

综上可知a3+b3+c3+2abc≥5 证毕.

评注若条件a,b,c＞0 且k2(k ∈R+),可设a=kcosA,b=kcosB,c=kcosC.转化为ΔABC三内角A,B,C满足恒等式cos2A+cos2B+cos2C+2 cosAcosBcosC=1,等价于设其中a,b,c并非ΔABC对应的三边长.

4 三角对称代换

例7(2014年高考辽宁卷第16 题)对于c＞0,当非零实数a,b满足4a2－2ab+4b2－c=0,且使|2a+b|最大时,求的最小值.

此题的解法在各大杂志上刊登过,方法颇多,笔者给出另解.

解由4a2－2ab+4b2=c,可设

其中

则

令a=2x,b=3x,可得c=40x2,从而

评注若对于c＞0,当非零实数a,b满足k1a2+k2ab+k1b2－c=0,其中k1,c ∈R+,k2∈R且2k1＞k2,k1,k2,c为常量,且使|λa+b|最大时,求的最小值,其中λ1,λ2,λ3∈R+且λ1,λ2,λ3为常量.这类问题可运用三角对称代换求解,可设

其中

θ的取值范围视情况而定,可解决颇多不等式问题.