谈谈高中学生数学思维训练的方法

摘要：学生思维方法的训练，应从学生的实际出发，把握学生思维提升的途径。只有从对学生思维训练的教学认真做起，才能有效地提升学生的思维能力，提升解决实际问题的能力。

关键词：高中;数学;思维训练

《普通高中数学课程标准（2017年版）》要求在教学中重视学生学习的过程与方法，注重学生学会自我学习，为学生今后的学习提供基本的思维方法。而在我们实际教学中学生存在的最大问题是相当部分的同学想学却不知道如何学，也不明白什么是学习最要紧的东西。就我个人的教学经验来看，主要是学习过程中数学思维方法的训练不足，太过于注重知识的传授。其实，数学思维方法的训练是数学教学的重中之重，本人在连续多年的高三数学教学中对此深有体会。没有有效的数学思维训练，往往在高考中，只能对做过的题型进行简单的模仿，而对比较陌生的题目就会出现无从下手的现象。

思维是人脑对客观事物的本质属性和内部规律性间接和概括的反映。数学思维方法同其他学科的思维方法是有共同之处的，其基本的思维方式也包括分析、比较、分类、抽象、概括、具体化、系统化、判断、推理等。这些思维方式在平时经常出现于我们的题目中，而且平时教学也常常挂在嘴上。但具体如何进行分析、如何进行概括……我们常常不注重这方面的教学，而我们学生的思维障碍却往往在于此，所以我们教学中思维方法的训练就显得十分重要。下面就个人教学中的体会谈几点看法，以期能够起到抛砖引玉的作用。

一、 训练发散性思维，提高数学思维的灵活性

发散性思维表现为对一个问题能够从多方面沿着不同方向去思考得出结论。发散思维训练的方法我的观点是重点提倡研究性学习。学生每遇到一个问题，必须以这个问题为中心，展开自己思维的翅膀去寻求不同的解决途径。老师在教学过程中，可以运用多种解题思路，从不同的角度和不同的途径去指导学生探究问题的最终结果，让学生在一题多解的教学活动中提高自己思维的灵活性。

【例1】已知x，y≥0，x+y=1，求x2+y2的最小值和最大值。

方法一：（函数观点）由x+y=1得y=1-x，则x2+y2=x2+（1-x）2=2x2-2x+1=2x-122+12，由于x∈[0，1]，利用二次函数的开口方向和对称轴方面的知识，可以得到当x=12时，x2+y2的最小值为12;当x=0或1时，x2+y2的最大值为1。所以函数方程思想是高中阶段最基本的数学思想方法之一，它可以揭示两个变量之间的内在联系。对于双变量或多变量的最值问题，我们可以通过变量替代化归为单变量问题，最后用函数单调性方面的知识来解决，这是一种很常见的数学思想方法。

方法二：（三角换元观点）因为x+y=1，x≥0，y≥0，则可以设x=cos2α，y=sin2α，其中α∈0，π2，则x2+y2=cos4α+sin4α=（cos2α+sin2α）-2sin2αcos2α=1-12（2sinαcosα）2=1-12sin22α=1-12×1-cos4α2=34+14cos4α。于是，当cos4α=-1时，x2+y2的最小值是12;当cos4α=1时，x2+y2的最小值是1。三角换元思想也是高中数学中常见的数学思想方法之一，我们可以通过三角换元把问题转化为三角函数形式，再利用三角函数方面的有关知识来解决问题。

方法三：（对称换元观点）因为x+y=1，x≥0，y≥0，所以我们可设x=12+m，y=12-m，其中m∈-12，12，那么有x2+y2=12+m2+12-m2=12+2m2，m2∈0，14，所以当m2=0时，x2+y2的最小值是12;当m2=14时，x2+y2的最大值是1。从对称换元观点发现，对称换元变换后结果非常简洁，从而我们更容易求出问题的最小值与最大值。

方法四：（基本不等式观点）因为x+y=1，x≥0，y≥0，则xy≤x+y2=14，可以得到0≤xy≤14，那么x2+y2=（x+y）2-2xy=1-2xy，我们发现当xy=0时，x2+y2的最大值是1;当xy=14时，x2+y2的最小值是12。我们发现基本不等式的灵活运用，可以解决部分含有两个未知量的最值问题，但要注意“一正、二定、三相等”三个方面条件的符合。

方法五：（解析几何观点）我们可设d=x2+y2，那么d代表动点P（x，y）到原点O（0，0）的距离，因此我们只要求线段x+y=1x≥0，y≥0上的点到原点的最大和最小距离即可。我们发现当动点P与A或B重合时，dmax=1，则x2+y2的最大值是1;当OP⊥AB时d的最小值是22，则x2+y2的最小值是12。我们看到几何观点和代数观点的互相转化，可以强化学生数形结合思想的养成和提高，可以让学生在数和形的理解上把握好一個很好的思维尺度，能够使学生由数想到形，由形想到数，从而达到快速解决问题的目的。

一题多解的训练，是数学课上一种常见的教学方式，它可以引导和启发学生从多方面、多角度的去分析、思考同一类问题，引导学生利用知识间的纵横联系，学会从不同角度去思考解决问题的方法以及灵活的思维方式，从而培养和提高学生分析问题和解决问题的能力。

二、 训练转化与化归的能力，培养数学思维的独创性

思维的独创性是指学生在数学学习活动过程中，能根据自己的目标和方向展示出来的一种主动的、独创的、富有新颖特点的数学思维方式。思维的独创性是要使学生不受传统的习惯和思维的禁锢，要跳出一般套路的思维定式。学生在学习过程中要对所学习过的概念、公理、定理、推论、法则、解题方法、解题策略提出属于自己的观点、想法，提出合情合理的怀疑和挑剔。在教学过程中，我们会常发现，学生提出富有个性见解的时候，他们往往会有“思维火花”的闪现。对于思维独创性的训练，重点是在于化归与转化思想这种能力的培养。也就是指在解决问题时，我们要引导学生从实际出发，通过分析问题，从中发现问题与条件的某种内在联系或某种内在规律，把不熟悉、不规范、复杂的问题，采用一定手段使其化归与转化，进而使问题转化为比较容易解决的、熟悉的、规范甚至简单或模式化的问题的一种思路方式。

【例2】已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0有两个实数根x1，x2，证明：若|x1|<2，|x2|<2，则 2|m|<4+n，且|n|<4。

证明：∵二次函数y=x2+mx+n的开口向上，|x1|<2，|x2|<2。所以一定有f（-2）>0，f（2）>0，即4+2m+n>04-2m+n>0，∴2m>-（4+n）2m<4+n，∴2|m|<4+n。又由韦达定理可以得到|n|=|x1x2|<4。

本题我们利用一元二次方程、二次函数和一元二次不等式三者之间的内在关系，引导学生把一元二次方程的实数根的问题巧妙地转化成研究或讨论二次函数图象与性质的问题，让学生将转化与化归思想贯穿在整个解题过程之中。

三、 训练抓住事物本质的能力，培养数学思维的概括性

思维的概括性指的是通过思维活动把同一类事物共同的本质属性抽取出来，加以概括，或把概括出来的认识推广到同类现象中去。思维的概括性反映学生对客观事物内在关系和规律性的认识。近年来不管是新课程教学，还是在高考的命题方向上都体现了训练或考查学生思维的概括性这一思维特征。新课程的教学强调过程与方法，这几年高考数学应用题的阅读文字量的大大增加，学生思维的概括性不强是无法应对这类题型的。对于思维概括性的训练，关键是如何引导学生抓住事物的本质。

【例3】设函数D（x）=1，x为有理数0，x为无理数，则下列结论错误的是：（A）D（x）的值域为{0，1};（B）D（x）是偶函数;（C）D（x）不是周期函数;（D）D（x）不是单调函数。

这是狄利克雷函数，此题看似很简单，但却对函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等概念的内涵要求颇高，而我们在教学中只在概念的外延上一味地拔高，比如f（x+T）=-1f（x）可推函数f（x）的周期为2T，经常训练此类题目，而忽视函数周期性中周而复始的概念的内涵本质，可想而知，对这个选择题，我们所教的考生能做多好。所以我们在教学中，只有紧紧把握概念教学的深入挖掘，抓住概念的本质，让每个学生准确的理解和掌握概念的內涵和外延，不管是基础题还是应用题，甚至能力题，学生都能得心应手地面对。

学生思维方法的训练，应从学生的实际出发，把握学生思维提升的途径。只有从对学生思维训练的教学认真做起，才能有效地提升学生的思维能力，提升解决实际问题的能力。我们在教学中要根据不同的教学内容，有目的、有计划地对学生开展思维训练，使学生掌握解题的常见思想方法，逐步培养和发展学生的思维能力，让学生能够轻松应对数学知识的学习，从而使学生的学习能力提高到更高的境界。

作者简介：

邱爱福，福建省石狮市，福建省石狮市第一中学。