中间铰支加固的悬臂梁稳定性试验分析*

吴亚运，刘培蕾

(中国船舶重工集团第七一〇研究所，湖北 宜昌 443003)

0 引 言

浮标作为一种水面探测工具载体，在当前海洋探索不断发展的前提下，对其承载能力、承载方式提出了新的要求。如某款超声波气象站传感器需安装在距水面3 m以上的高度，而一般单一功能的抛弃式气象探测浮标总体质量轻，结构尺寸小，只能在浮标体上架设细长的支撑杆以满足要求。本文将对浮标体上架设的细长支撑杆的稳定性问题进行试验研究。

1 研究背景

出于经济、总体质量控制的双重目的，在浮标设计阶段，支撑杆选用常用的聚氯乙烯材料即PVC材料，其材料属性见表1。浮标支撑杆设计如图1所示，其一端固定在浮标的浮体上，另外一端自由。端部设有传感器座，用于承载海洋探测所需的传感器。支撑杆长3 m，截面为外径32 mm、内径28 mm的圆环。

表1 聚氯乙烯材料属性表

图1所示的支撑杆是典型的欧拉梁结构[1]，其稳定性临界值计算公式为：

(1)

经计算，支撑杆的临界压载约为2.02 kg，由于探测任务的需要，各项传感器质量之和约为1 kg，安全裕度值仅为2，且后续升级空间不足。为此需要对支撑杆进行加固。因为浮标有严格的质浮心要求和空间体积限制，因此提出了如图1所示的绳索加固方式。采用绳索加固，加固方式简，增加的额外质量轻，对浮标的质浮心影响可忽略不计。此文将对绳索加固的效果进行研究，确定加固位置，为加固设计提供理论依据。

图1 浮标结构示意图 图2 支撑杆简化模型示意图

2 模型简化

绳索加固，限制了支撑杆水平方向的移动，但允许其竖直方向运动和转动，因此绳索牵引约束可以简化为铰链约束。支撑杆可简化为图2所示的底部为固定约束，中部承受铰支约束，顶端自由且承受垂向载荷的细长杆。令杆长为l，底部约束至中间铰支约束处的距离为ml，m为比例因数表示AB段与杆长的比值。

图2中，自由端的水平位移为δ，压感临界压力为P，固定约束端A处的受力为：垂直方向的支反力，大小为P；水平方向受力为Fa；且有浮体对A的矩Ma。中间铰支处B仅受到水平作用力。

3 求解过程

分析过程基于欧拉小挠度微分方程[5]，以A点为坐标原点，AB方向为X轴建立直角坐标系。其中，沿X轴方向变量x表示离开原点的距离，用M(x)表示距离原点x处的弯矩大小，w(x)表示距原点x处的挠度大小，压杆的稳定性临界值P求解分析过程如下：

3.1 平衡关系

对B点取矩，根据力平衡关系有如下方程：

Fa*ml-ma-P*δ=0

(2)

3.2 变形关系

AB段小挠度变形关系如下：

(3)

(4)

BC段小挠度变形关系如下：

(5)

BC段的挠曲线方程的通解为：

wbc(x)=ccos(Kx)+dsin(Kx)+δ

(6)

AC段的挠度曲线方程可有式(4)和式(6)表示，其中a、b、c、d为待定系数。

3.3 边界条件

由于底端固定约束，故底端固定约束的位移为零，约束点的微分也为零；B点铰支约束，故有B点的位移为零且AB段与BC段在B点连续且光滑；C点为支撑杆自由端，C点的位移为δ。将边界条件进行整理即式(7)～(12)：

wab(0)=0

(7)

wab′(0)=0

(8)

wab(ml)=0

(9)

wbc(ml)=0

(10)

wab′(ml)=wbc′(ml)

(11)

wbc(l)=δ

(12)

将边界条件式(7)～(12)带入AB段和BC段的通解方程即式(4)和式(6)，整理有以下方程式(13)～(18)：

(13)

(14)

=0

(15)

ccos(Kl*m)+dsin(Kl*m)+δ=0

(16)

-aKsin(Kl*m)+bKcos(Kl*m)+

(17)

ccos(Kl)+dsin(Kl)=0

(18)

显然该方程组在[a，b，c，d，δ]T为非零的情况下才有物理意义，因此系数矩阵的行列式为零[6]是[a，b，c，d，δ]T有非零解的充分必要条件，即：

=0

(19)

式(19)表示的特征方程，其展开式是一个超越方程，该方程是以Kl(即value)为未知数，m为已知量，借助数值计算相关方法及计算机编程[2-3]，经求解可知，在不同的m下，value以及μ的取值。部分计算结果见表2所列。

表2 长度因数μ随比例因数m的变化表

3.4 拟合公式

根据表2计算得到的结果，绘制长度因数μ关于比例因数m的曲线可知，μ随着m的增大而下降。

图3 长度因数μ与比例因数m的关系图

长度因数μ可以用比例因数m的4次曲线进行拟合，拟合结果如下：

μ(m)=0.982 2m4-1.306 1m3+0.622 9m2-

1.598 7m+1.998 5

因此一端固定，一端自由，中间铰支的细长杆的稳定性临界载荷计算公式可以用如下表达式(后称拟合公式)拟合：

式中：m是铰支点到固定端的距离与杆长的比值，0≤m≤1。

4 结果验证

假设有一根长为2.5 m，截面为直径0.01 m的圆，弹性模量为2.11×1011Pa，泊松比0.3的细长压杆计算其稳定性临界值。取相同的边界条件分别使用有限元软件和拟合公式进行计算，然后进行结果对比。其中m取0、0.26、0.46、0.66、0.86、1进行计算。有限元计算结果见图4(a)～(f)。

图4 有限元计算结果

采用拟合公式计算的结果与有限元计算的结果详见表3所列[4]。如表所示，误差最大取值为0.462%，在0.5%以内，满足工程上5%以内的误差要求，因此对于一端固定、中间的铰支加固的悬臂梁计算其稳定性临界值时，完全可以使用文中提供的拟合公式进行计算分析，较有限元分析节省了建模时间，且计算精度能够满足工程实际的要求。

表3 中间铰支加固的悬臂梁稳定性临界值有限元与拟合公式计算结果

5 结 论

(1) 对于中间铰支加固的悬臂梁压感稳定性拟合公式如下：

m是铰支点到固定端的距离与杆长的比值，0≤m≤1。

该公式保持了传统欧拉梁稳定性计算公式的形式，通过长度因数μ确定梁的稳定性临界值。长度因数μ与加固的铰支点的位置有关。铰支加固点越靠近自由端，即m越大，压杆的稳定性临界值越大。

(2) 通过拟合公式计算的压杆临界值与仿真软件计算的结果误差在0.5%以内，因此使用拟合公式进行计算压杆临界值能够大幅节约时间，提高了工作效率。

(3) 对于悬臂梁，在梁的正中间进行铰支加固，其稳定性临界值提升约为2.55倍(μ(0.5)-2/μ(0)-2)，因此对于本文研究背景中提到的浮标支撑杆，在其中间部进行加固，可以使得安全系数达到5以上，满足工程设计需要。