三角形网格上形态开闭算子的研究

段汕，柳倩，张玉晓

(中南民族大学 数学与统计学学院，武汉 430074)

数学形态学起源于20世纪中期，在生物医学成像、遥感、机器人视觉、形状识别与分类等诸多领域有着广泛的应用[1]. 数学形态学方法应用于图像处理时，通过具有探针作用的结构元素实现对图像几何和拓扑特征的描述和提取. 离散形态学通常以正方形网格下的数字图像为处理对象，其相关理论和算法较为完善. 计算机处理图像的第一步是对其进行数字化，所采用的网格有正方形、正三角形和正六边形网格[2]，其中以正方形网格最为常用. 正方形网格中对像素的表示与笛卡儿坐标系一致，且网格具有诸多良好的性质. 就数学形态学理论而言，平移不变性是正方形网格最突出的特点之一. 正六边形网格较正方形网格有其特有的性质，主要体现在连通性[2]、对称性[3]等方面，这使得在六边形网格上形态算子的研究取得了相应的成果[4-6].

相对于传统的正方形网格，与六边形网格互为对偶[7]的三角形网格有其对称性[8]和像素邻域选择多样性等特点[9,10]，由此推进了对三角形网格上形态算子理论的研究. 文献[11]研究了坐标之和为0和1的三角形网格T1上的形态学问题，提出了3种形式的膨胀和腐蚀算子，用不同的方法解决三角形网格下向量的代数运算引出的非封闭性问题. 研究结果表明，这些方法不能兼顾算子的形态学性质和输出信息的完整性，且所提出的三角形网格上的膨胀和腐蚀对于形态算子的基本性质大多不能被保留，或是需要较多的条件限制. 基于此，文献[12]通过引入坐标之和分别为0和-1的三角形网格T2，将结构元素的构成调整为由T1和T2中的集合所组成的结构元对，建立了更具形态学意义的三角形网格上独立膨胀和腐蚀算子，较好地保留了形态算子的基本性质和算子特性.

鉴于三角形网格下向量的代数运算的非封闭性等问题，本文在已有文献的基础上，进一步研究了基于独立膨胀和腐蚀算子[12]的独立开、闭算子的建立方法，通过引入分部开、闭运算形式有效地解决了三角形网格上形态开、闭算子的构造问题，且使其仍保留独立膨胀和腐蚀的基本结构特点和形态开、闭算子的共有特性. 对三角形网格上独立开、闭算子滤波和代数性质的研究结果表明，独立开、闭算子的建立丰富了三角形网格上形态算子的研究成果.

1 基础知识

三角形网格[8-10]T1是由相同的等边三角形平铺而成的网格，每个三角形代表一个像素点，其坐标由三元有序数组(x,y,z)表示.T1中像素的坐标分别满足x+y+z=0和x+y+z=1，将坐标满足x+y+z=0点(x,y,z)称为偶像素，所对应的三角形的方向为△；将坐标满足x+y+z=1点(x,y,z)称为奇像素，所对应的三角形的方向为▽. 若将三角形网格T1中偶像素的全体记为G0，奇像素的全体记为G+，则有T1=G0∪G+，G0∩G+=∅.

对于p=(x,y,z)∈G+，记-p=(-x,-y,-z)，且其坐标之和为-1，显然有-p∉T1. 将三角形网格T1中由奇像素集合G+所确定的集合G-={-p|p∈G+}与G0所构成的三角形网格记为T2，显然有T2=G0∪G-，G0∩G-=∅.

T1(T2)中的集合A可表现为A=A0∪A+(A=A0∪A-)，其中A0⊂G0,A+⊂G+(A0⊂G0,A+⊂G-). 容易证明，对三角形网格T1中的集合取奇、偶像素运算满足如下代数性质：

引理1(1) (A∩L)0=A0∩L0,(A∩L)+=A+∩L+；(A∪L)0=A0∪L0,(A∪L)+=A+∪L+；

(2)若A⊆L，则A0⊆L0，A+⊆L+；

(3)若t∈G0，则(At)0=(A0)t,(At)+=(A+)t.

显然，对三角形网格T2中的集合取负奇、偶像素运算也满足引理1.

文献[12]中所提出的独立膨胀和腐蚀中结构元对B=(Be,Bo)，其中Be是T1中的集合，Bo是T2中的集合，这一点和通常的形态学中的结构元不同. 结构元对B=(Be,Bo)和C=(Ce,Co)的交与并满足：

(B∪C)e=Be∪Ce,(B∪C)o=Bo∪Co,(B∩C)e=Be∩Ce,(B∩C)o=Bo∩Co,

对于t∈G+(t∈G-),三角形网格T1(T2)不具有平移不变性，因此在三角形网格下，结构元的移动仅通过t∈G0实现. 对于t∈G0，在通常平移运算的意义下，结构元B沿t方向的平移Bt可描述为：Bt=((Be)t,(Bo)t)=({b+t:b∈Be},{b+t:b∈Bo}).

结构元B=(Be,Bo)对A⊂T1的独立膨胀和腐蚀定义[12]为：

A⊕iB=(A0⊕Be)∪(A+⊕Bo),

(1)

A⊖iB((A⊖Be)∩G0)∪((A⊖Bo)∩G+),

(2)

其中⊕和⊖是通常的膨胀和腐蚀[13]. 由文献[12]证明知，独立膨胀和腐蚀保留了通常的膨胀和腐蚀的滤波和代数性质.

2 独立开、闭算子的建立

独立膨胀和腐蚀算子定义中除通常的膨胀与腐蚀外，还涉及集合的交并运算，而膨胀和腐蚀算子与交并运算并非均满足分配律[12]，因此，按照传统的复合方法直接由独立膨胀和腐蚀产生的开、闭算子将不再具有滤波性质.

在独立膨胀和腐蚀的定义(1)和(2)式中，若将结构元B取为B=(Be,∅)或B=(∅,Bo)，这里∅为空集，则(1)式分别具有如下形式：

A⊕iB=A⊕i(Be,∅)=(A0⊕Be)∪(A+⊕∅)=A0⊕Be,

A⊕iB=A⊕i(∅,Bo)=(A0⊕∅)∪(A+⊕Bo)=A+⊕Bo;

若将结构元B取为B=(Be,T2)或B=(T1,Bo)，则(2)式分别具有如下形式：

A⊖iB=A⊖i(Be,T2)=((A⊖Be)∩G0)∪((A⊖T2)∩G+)=(A⊖Be)∩G0=(A⊖Be)0,

A⊖iB=A⊖i(T1,Bo)=((A⊖T1)∩G0)∪((A⊖Bo)∩G+)=(A⊖Bo)∩G+=(A⊖Bo)+.

由此可见，对于以上结构元对的特殊取法，独立膨胀和腐蚀表现为关于目标对象和结构元素的分部运算形式，为此建立如下4种分部运算：

(3)

(4)

(5)

(6)

由于分部运算分别是膨胀、腐蚀算子，容易证明，分部开、闭运算分别保留了通常的开、闭算子的滤波和代数性质，因此，开(闭)运算具有增性、幂等性、平移不变性、非扩展性(扩展性)，但分部开运算的非扩展性和分部闭运算的扩展性的表现形式如下：

(7)

由此可见，分部开、闭运算分别具有通常的开、闭算子的滤波性质和代数性质，因此，基于(5)、(6)式，可建立独立开、闭算子.

定义结构元B对三角形网格T1中的集合A的独立开、闭算子分别定义为：

(8)

(9)

由(3)～(6) 式，独立开、闭算子具体表现为：

A∘iB=A∘i(Be,Bo)=((A⊖Be)0⊕Be)∪((A⊖Bo)+⊕Bo),

A·iB=A·i(Be,Bo)=(A0·Be)0∪(A+·Bo)+.

(10)

3 滤波性质

在分部开、闭运算相关性质的基础上，以下将对独立开、闭算子的滤波性质进行研究.

性质1若A⊆L，则A∘iB⊆L∘iB,A·iB⊆L·iB.

L·iB.

性质1证明了独立开、闭算子的增性.

性质2A∘iB⊆A,A·iB⊇A.

证明由(7)～(9)式可得：

性质2证明了独立开(闭)算子的非扩展性(扩展性).

性质3A∘iB∘iB=A∘iB,A·iB·iB=A·iB.

(11)

由此可见，(11)式可化简为：

A∘iB∘iB⊇A∘iB.

同时，由性质2可得：

A∘iB∘iB⊆A∘iB，

故:

A∘iB∘iB=A∘iB.

性质3证明了独立开、闭算子的幂等性.

对滤波性质的研究表明独立开、闭算子具有形态开、闭算子的一般特性.

4 代数性质

下文将对独立开、闭算子的代数性质进行研究.

性质4若t∈G0，则At∘iB=(A∘iB)t,At·iB=(A·iB)t.

性质4证明了独立开、闭算子的平移不变性.

性质5若t∈G0，则A∘iBt=A∘iB,A·iBt=A·iB.

A∘iB,

A·iB,

性质6(A∩L)∘iB⊆(A∘iB)∩(L∘iB),(A∩L)·iB⊆(A·iB)∩(L·iB).

性质7(A∪L)∘iB⊇(A∘iB)∪(L∘iB),(A∪L)·iB⊇(A·iB)∪(L·iB).

性质8A∘i(B∪C)⊆(A∘iB)∪(A∘iC),A·i(B∪C)⊇(A·iB)∩(A·iC).

(A·iB)∩(A·iC).

性质6～性质8证明了独立开、闭算子与集合运算相关的代数性质.

对于独立开、闭算子的代数性质的研究，表明独立开、闭算子保留了通常的开、闭算子的代数性质.

5 结语

本文通过引入分部开、闭运算，建立了基于独立膨胀和腐蚀的独立开、闭算子. 对独立开、闭算子滤波和代数性质的研究结果表明：独立开(闭)算子具有形态开(闭)算子的共有特性，即增性、非扩展性(扩展性)、幂等性、平移不变性，且独立开、闭算子分别保留了通常的开、闭算子与集合交并运算相关的代数性质.