对称α稳态过程驱动的随机微分方程数值分析

胡军浩，高帅斌，刘暐

(1中南民族大学 数学与统计学学院，武汉430074；2 上海师范大学 数学系，上海 200234)

1 相关知识

本文研究了一类对称α稳态过程驱动的随机微分方程的数值解问题，方程形式为：

dx(t)=f(x(t))dt+g(x(t))dB(t)+dL(t),

0≤t≤T,

(1)

初值为x(0)=x0,f:Rn→Rn,g:Rn→Rn×m都是可测函数，L(t)是对称α稳态过程,α∈[1,2).

当方程(1)的系数满足全局Lipschitz条件时，文献[1]讨论了Euler-Maruyama算法. 当α稳态过程L(t)是截断的且漂移项系数Hölder连续时，文献[2]研究了Euler-Maruyama算法. 文献[3]将方程(1)推广至随机泛函方程. 现有文献考虑方程(1)时，漂移项都不是超线性增长的. 但是，随机模型中系数经常会出现超线性，为了填补该空白，本文主要研究这类随机微分方程的数值逼近问题.

文献[4]指出，当随机微分方程系数是超线性时，Euler-Maruyama算法无法收敛. 因此，本文采用半隐式Euler-Maruyama算法. 当L(t)不存在时，方程(1)的半隐式Euler-Maruyama算法已经被广泛研究[5]. 本文的主要不同点和困难是由驱动过程L(t)引起的，它是B(t)的推广，其矩依赖于α. 更准确地说，对于任意的ξ∈[1,α)，

(2)

见文献[6]性质1.2.17.

2 基本引理

设(Ω,F,{Ft}t≥0,P)是一个完备的概率空间，其滤波{Ft}t≥0满足通常条件(即它是单调递增和右连续的，并且F0包含所有空集). 设B(t)=(B1(t),…,Bm(t))T是概率空间上的m维Brown运动.

采用如下定义描述α稳态过程[6]. 若随机过程L={L(t)}0≤t≤T满足：

(a)L(0)=0，a. s.；

(b) 对于任何n∈N和0≤t1

(c) 对于任何0≤s

关于方程(1)的系数给出下列假设:

(A1) 存在常数K1>0，使得：

∀x∈Rn,q≥2.

(3)

(A2) 存在常数K2>0和γ>0，使得：

|f(x)-f(y)|2≤K2(1+|x|γ+|y|γ)|x-y|2.

(4)

|g(x)-g(y)|2≤K2|x-y|2,∀x,y∈Rn.

(5)

(A3) 存在常数K3>0，使得：

(x-y)T(f(x)-f(y))≤K3|x-y|2,∀x,y∈Rn.

(6)

对于给定的步长Δ∈(0,1)和时间T，定义N=T/Δ. 方程(1)的半隐式Euler-Maruyama算法定义如下：

yi+1=yi+f(yi+1)Δ+g(yi)ΔBi+ΔLi,

i=0,1,2,…,N,

(7)

初值为y(0)=x0，其中ΔBi=B(ti+1)-B(ti)，ΔLi=L(ti+1)-L(ti). 由此,yi是x(iΔ)的近似值.

其分段连续数值解为：

y(t)=yi,t∈[iΔ,(i+1)Δ),i=0,1,2,…,N.

(8)

下面两个引理起着关键的作用.

引理1假设(A1)成立，则对于任意的t∈[0,T]，方程(1)的解满足：

E|x(t)|q≤C.

(9)

证明由It公式和(3)式可知，对于任意的t∈[0,T]，有：

E|x(t)|q≤

然后应用Gronwall不等式可得(9)式.

引理2假设(A2)成立，则对于任意的1

(10)

证明对于任意的0≤s

由Hölder不等式，BDG不等式和(2)式可得：

3 主要结论

(11)

证明由(1)式和(8)式可得：

因此:

在等式两边取平方可得：

|x(ti+1)-yi+1|2=A1+A2.

其中:

A2=(x(ti+1)-yi+1)T((x(ti)-yi)+

为了估计A1，把A1拆分成两部分：

(x(ti+1)-yi+1)T(f(x(s))-f(yi+1))=

(x(ti+1)-yi+1)T(f(x(ti+1))-f(yi+1))+

(x(ti+1)-yi+1)T(f(x(s))-f(x(ti+1)))=:A11+A12.

由(6)式可得：

A11≤K3|x(ti+1)-yi+1|2.

由(4)式可得：

因此:

|x(s)|γ+|x(ti+1)|γ)|x(s)-x(ti+1)|2]ds.

(12)

对于任意的ε>0，有：

(1+|x(s)|γ+|x(ti+1)|γ)|x(s)-x(ti+1)|2-α+ε≤

C(1+|x(s)|γ+|x(ti+1)|γ)(|x(s)|2-α+ε+

|x(ti+1)|2-α+ε)≤C(1+|x(s)|2+γ+

|x(ti+1)|2+γ).

E((1+|x(s)|γ+|x(ti+1)|γ)|x(s)-x(ti+1)|2)=

E[((1+|x(s)|γ+|x(ti+1)|γ)·

|x(s)-x(ti+1)|2-α+ε)|x(s)-x(ti+1)|α-ε]≤

CE[(1+|x(s)|2+γ+|x(ti+1)|2+γ)·

|x(s)-x(ti+1)|α-ε]≤

故由(12)式可知：

(13)

下面估计A2，

令:

由(5)式可得：

|g(x(s))-g(yi)|2≤2|g(x(s))-

g(x(ti))|2+2|g(x(ti))-g(yi)|2≤

2K2(|x(s)-x(ti)|2+|x(ti)-yi|2).

E|x(s)-x(ti)|2=

E(|x(s)-x(ti)|2-α+ε|x(s)-x(ti)|α-ε)≤

(14)

因此:

(15)

由(13)式和(15)式可得：

E|x(ti+1)-yi+1|2≤E(A1)+E(A2)≤

移项可得：

E|x(ti+1)-yi+1|2≤

因此：

利用iΔ=ti≤eCti可得：

E|x(ti)-yi|2≤

根据离散型Gronwall不等式可得：

(16)

因此，对于t∈[iΔ,(i+1)Δ)，i=0,1,2,…,由(8)式、(14)式和(16)式可得：

E|x(t)-y(t)|2≤

证毕.

4 实例

考虑下列随机微分方程：

dx(t)=(x(t)-x3(t))dt+2x(t)dB(t)+dL(t),

(17)

初值为x(0)=x0∈R1.

显然对于任意的q≥2，(A1)成立，即：

另外，由不等式|x|2|y|2≤|x|4+|y|4,∀x,y∈Rn可得：

|(x-x3)-(y-y3)|2≤8|x-y|2(1+|x|4+|y|4)和|2x-xy|2≤8|x-y|2,

即(A2)成立.

最后，由(x-y)((x-x3)-(y-y3))≤|x-y|2可知(A3)也成立.