涉深水观鲛龙，探模型“放大”价值

戴向阳 周米

波利亚曾说：“一道好题的价值之一在于它能产生其他一些好题。”并指出：“从好的东西中再提炼出更加纯净的精制品是不容易的。但却有价值。”面对数学史中经典名题，数学解题不能仅喜于解的研究，更为重要的是揭示经典中所包含的一般性模型，由一题通识一类。正所谓“涉浅水者得鱼虾，涉深水者观鲛龙。”关注问题的解只是捞鱼虾，关注问题的内在的模型，才是解题工作的远足。

掌握一个模型，看清百题一辙：掌握系列模型，通识万千变化。解题不单是论解，还有放眼模型，“做大”解题，“串烧”一片，实现“简约学习”，滋养思维，“放大”解题价值。

本文就从数学史上脍炙人口的海盗藏宝图说起，漫谈一类旋转模型的发现、变式、拓展串珠成链的过程及其应用，寄望能提高中考复习效率，并为中考命题创新提供模型支撑。不妥之处，希不吝指正。

1 海盗藏宝

话说一群海盗把一批宝藏埋在荒岛上，如图1所示。岛上只有三棵树，一棵山毛榉、两棵橡树。海盗从山毛榉B点到橡树A拉一根绳子。然后从橡树A出发，沿着垂直于绳子的方向，往岛里走一段路到达D点，使AD=AO。然后又从B点山毛榉出发，向橡树C拉一根绳子，沿着垂直于绳子的方向。往岛里走一段路到达E点，使CE=BC。最后在皿的中点F埋下宝藏。

后来，挖宝时山毛榉B消失得无影无踪，没有了参照物。挖宝人细思后，在AC的垂直平分线上等于AC一半的位置找到宝藏。如图2所示。

2 解题探索

据挖宝人做法，可知藏宝点F与AC构成以AC为斜边的等腰直角三角形，如图3所示。

3 基本模型——双等腰直角三角形

数学家奥加涅说：“很多习题潜在着进一步扩展其数学功能和教育功能的可行性。”细嚼藏宝图的解答，可得下列基本模型：

4 模型拓变与案例简析

基本模型的发现，仅是解题工作的一个惊喜开端，是解题研究迈出的“一小步”。尚有“一大步”——模型的拓变工作，正静待着解题者“放大价值”。

4.1 去特殊添约束。模型拓展

鉴于“双等腰直角三角形旋转模型”中直角的特殊性，试将条件放宽到任意等腰三角形，并追加相关约束条件，于是又得到“底连双等腰三角形旋转模型”，如图5所示。其结论的“相似”性，是对基本模型结论的全等特点的进一步继承。

模型1——底连双等腰三角形

4.2 变底连为顶连，模型变式

变模型1中“底角连接”方式为“顶角连接”，便得下列应用广泛的模型2.

模型2——顶连双等腰三角形

4.3 以相似审视之，终极拓展

鉴于模型2中两个等腰三角形相似特点，可有如下“相似模型”。两个相似三角形在一对对应点处重合，那么这两个三角形存在两种位置关系：同向相似与相向相似。如果另两对对应点从一个三角形到另一个三角形的旋转方向相同，则称这两个三角形是“同向相似”，反之称之为“相向相似”。例如图11中，△AOP～△QOB，其中A与Q是对应点，P与B是对应点。在旋转角小于180°时，从A到O和P到B的旋轉方向都是顺时针的，故属“同向相似模型”。

模型3——同向相似模型

数学解题的基本任务是解题，但它并非仅限于解出、多解、优解、通解等探解工作，还有揭示试题内蕴藏的其它更有益的结论以及预知试题的可能变化——伪装与变式，而最具价值的工作，是于解题中发现潜在的模型以及对模型的拓展与变式，形成“模型链”，以“一链”挈领一片“生态种群”。