谈高中数学概率统计概念教学的策略

周根旺　王娇

[摘 要]概率是高中数学的新增内容，是衔接初等数学与高等数学的重要知识.这部分内容由于问题情境源于实际，贴近生活，所以学生乐学且易于接受，但学生往往因无法深刻理解概念的本质，从而陷入学习的瓶颈期，导致难以提高.因此，基本概念的教学对提高概率教学效率至关重要.

[关键词]概率统计;概念教学;高中数学

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2020）20-0017-02

人们对客观事物的认识都要经历一个过程，即由感觉到知觉，逐渐获得对事物的感性认知，在此基础上，再通过对比、分析、综合、概括、抽象等一系列的逻辑思考，把感性认知上升到理性认知，最终形成概念.概念是反映客观事物本质属性的思维方式.高中概率统计内容贴近生活，学生很容易形成感性认知，但概念本质的把握必须由感性认知上升到理性认知，由于理性认知对学生抽象思维要求较高，所以学生在学习过程中无法深刻理解概念的本质，从而进入学习的瓶颈期，导致成绩难以提升.因此，基本概念的教学在概率教学中尤为重要.

本文将结合教学案例从生活化情境引入、概念辨析、变式教学等方面谈谈概念教学的几点建议.

一、用生活化的問题情境引入概念

概率知识具有很强的实际应用背景，因此教与学显得有些吃力.情境教学法运用在概率统计教学中，可以培养学生的学习兴趣，提高学生的数学能力.对于情境中设置的问题，一要联系学生实际，二要注意情境的典型性.教师要多选取能反映概念本质的直观素材，使学生在具体问题的体验中感知概念，形成感性认识;要启发学生在体验中自主探究、生成概念，分析问题的内涵和外延，深化学生对概念的理解.

情境1：（时间模型）两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去，则求两人会面的概率.

情境2：（长度模型）一根长为3米的绳子，从中间剪一刀，求每段绳长都大于1的概率.

情境3：（面积模型）下雨时，在地面上放一个面积为30 [cm2]的脸盆，求雨点落在脸盆的任何一个位置的概率.

情境4：（转盘游戏）华联超市年终抽奖活动中，提供如图1所示的转盘，每人只能转一次，转盘指到“奖”字的区域时，顾客获奖，可领取精美礼品一份，请问：转盘指针所指的每种情况下顾客获奖的概率是多少？

情境5：（双变量的几何概型）周末在家，爸爸做平菇油菜的时间是6～8分钟，妈妈做红烧茄子的时间是5～7分钟，现爸爸和妈妈同时为芳芳做菜，求芳芳先吃到爸爸的平菇油菜的概率.

情境6：（以其他学科知识为背景）英语选词填空题中，单词Apple中，字母p在本单词的三个字母中出现的概率是多少？

二、注重概念的辨析

辨析概念时，教师要抓住基本概念的关键词，进一步解释概念，以加深学生对概念本质的认识.当然，在解释概念的过程中，要注意学生的最近发展区，对概念的解释要循序渐进.通过对概念的深化，不但培养学生思维的深刻性和批判性，而且提高学生对概念的把握能力.

1.频率与概率

区别：在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率m（A）/n总是接近于某个数，在它附近摆动，这个常数就是事件A的概率.因此只要n相当大，概率是可以通过频率来测量的，或者说频率是概率的一个近似.因此，事件A的概率P（A）是对事件A发生可能性大小的一个度量，它是一个确定的数值，其值大于0小于1，与试验次数n无关.

事件A的频率m（A）/n是一个与试验次数n有关的数，它总是在概率P（A）附近摆动.当试验次数n相当大时，频率可以作为概率的一个近似，或者说概率是可以通过频率来测量的.

联系：频率是概率的估计值，概率取的是大量试验后频率的稳定值.频率是有限次数的试验所得的结果，概率是频数无限大时对应的频率.概率等于0与不可能事件：若某事件A为不可能事件，则它一定不会发生，故它的概率为0，但反之却不一定成立.

[例1]假设事件A的概率是0.3，在100次中发生28次，那么它的频率是28/100=0.28.

2.互斥事件与对立事件

区别：对立事件的试验结果是非此即彼，也就是只考虑A和非A. 而互斥是不同时发生的事件，但彼此互斥的可以很多.

比如掷骰子，正面朝上的是1和不是1这两个事件就是对立事件.正面朝上是1的和正面朝上是2的就是互斥事件.

联系：对立事件一定是互斥事件（因为不能同时发生），但互斥事件则不一定是对立事件.

[例2]用数做比喻：x > 0和x ≤ 0，就是非此即彼的关系，是对立事件 ;x > 0和x < 0就是互斥事件，但不对立，因为还有[x=0].

三、加强变式教学巩固概念

变式教学，是指在教学过程中，教师采用变式教学方法使学生辨别概念的不同表达形式，从多角度理解掌握概念.在概念教学中，教师应通过数学问题的变式解答促进学生对概念的理解.教师可精心挑选一些有关基本概念的训练题目，让学生在解决问题的过程中加深对概念的认知内化，从而巩固概念.

1.互斥事件和对立事件

[例3]语文课上，老师抽查课文《雨巷》《再别康桥》《孔雀东南飞》《兰亭集序》.问：若四选一背诵，则抽到《雨巷》和抽到《兰亭集序》是互斥事件还是对立事件？

变式：问“抽到诗词《雨巷》《再别康桥》”和“抽到文言文《孔雀东南飞》《兰亭集序》”是互斥事件还是对立事件？

2.二项分布

[例4]一名学生骑自行车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗亭，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是[13].

变式1：设[X]为这名学生在途中遇到红灯的次数，求[X]的分布列.

变式2：设[Y]为这名学生在首次停车前经过的路口数，求[Y]的分布列.

变式3：求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.

变式4：某一中学心理咨询服务电话接通率为[34]，某班3名同学商定明天分别就同一问题咨询该服务中心，且每人只拨打一次电话，求他们中成功咨询的人数[X]的分布列.

3.几何概型

[例5]某人午觉醒来，发觉表停了，他打开收音机，想听电台电报时，假定电台每小时报时一次，则他等待的时间短于10分钟的概率为多少？

变式1：在400 mL自来水中有一个大肠杆菌.今从中随机取出2 mL水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率是多少？

变式2：在区间[（0， L）]内任取两点，求两点之间的距离小于[L3]的概率.

变式3：在半径为1的圆周上随机取三点A、B、C，求三角形ABC是锐角三角形的概率.

四、通过语言转换加强概念的理解

数学中的文字语言、符号语言、图形语言是一种高度抽象的人工符号系统，有准确、严密、简明的特点.但它也常成为数学教学的难点.一些学生之所以害怕数学，一方面在于數学语言难懂难学，因此教师要重视数学语言的转换，准确、熟练地驾驭数学语言，用普通语言复述概念的定义和解释概念所揭示的本质属性，使之“通俗化”，便于学生理解和记忆.

[例6]对立事件和互斥事件的三种语言转述.

文字语言：不可能同时发生的两个事件为互斥事件;两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件.

在教学中，首先要注意培养学生把握概念和将概率问题转化为事件的能力;其次是训练学生把所求的事件用已知事件表示的能力.抓住这两点，解题过程的表达自然就清楚了.

从教学实际而言，教师应灵活运用教材、钻研不同版本教材对基本概念的引入、概念的表述、相关例题及习题的配置、概念的辨析，根据自己的教学需要、因地制宜的选取.真正做到合理运用教材，帮助学生正确理解概念.

（责任编辑 陈   昕）