探究高中数学向量教学的有效方法

何建安　王玉宏

摘 要：向量又称之为矢量、欧几里得向量，区别于数量，是一种带有方向和大小的量。其数学符号一般表达为带有箭头的线段，箭头表示向量的方向，线段长短表示向量的大小。在高中数学教学中，向量的应用是非常关键的。原因是其数形结合的特点可以使复杂的数学问题变得简单化、清晰化以及系统化，对于帮助理清解题思路、探求解题方法具有积极作用。因此，在高中课堂教学中，如何帮助学生在解题过程中合理地应用向量，进而更好地提高教学效率与教学质量，是教师们所要面临的重要问题。

关键词：高中数学;向量教学;有效方法

【中图分类号】G 【文献标识码】B    【文章编号】1008-1216（2020）05B-0125-02

向量作为一种数学符号，在我国高中数学应用中非常广泛的。由于其具有方向性与数量性的双重特点，在进行复杂的代数运算或是解析立体几何时具有简化结构流程、梳理解题方法以及明确数据变量的作用，对于明确思路、探求方法以及提高效果作用积极。比如在几何应用中，向量可以很好的反应各个点、线、面之间的联系，起到替代定量的作用，为学生更好地解题求量提供了便捷。在代数运算中，向量的应用可以将复杂的公式简单化，创新解题方法、提高解题效率，是代数运算中的一种重要工具。对于教师而言，有效地应用向量教学，可以帮助学生提高学习成绩、发散学生思维以及开发学生智力，同时对于提高教学质量以及拓展学生思路也具有积极作用。现阶段，我国高中数学教学中向量的应用存在一些问题，学生学习积极性不足，缺乏向量应用的意识。

一、概念及以及意义

向量作为一种数学工具，由于其多样性的特点，可以使数学与其他学科形成紧密的联系，使不同学科之间具备互通性与相容性的特点。比如说在物理应用中，离心加速度的计算以及表示方法就很好地应用了向量的概念。还有进行表示物体的位移以及卫星运行轨迹等问题上也有效的融入了向量的概念。由于向量具有空间性与数量性的特点，在立体几何与代数运算的教学中具有非常重要的应用价值。比如在立体几何中，向量是以空间基础作为基点，利用线段与箭头的方式，反映出位置变量的形态，具有数形结合的重要特点。在立体几何图形中，将向量合理的引入，可以有效地反应点与点、线与线以及面与面之間的空间位置以及联系，是未知变量能够更具形象化与清晰化，进而使学生更好地明白题目中各个变量的关系，为解题提供帮助。在代数运算中，由于多数计算过于繁琐，单纯数量的计算具有一定的局限性。向量的有效带入可以使复杂公式简单、明了化，进而提高解题的正确率与便捷性，对于我国高中数学教学意义重大。

二、重要应用

（一）代数中的应用

在代数应用中引入向量概念，可以提供很好地解题思路，优化解题方法，使复杂的解题过程更加简单化、清晰化以及明了华，对于提高教学效率，改善教学质量，帮助学生建立起科学、系统的数学思维以及变量应用意识效果显著。同时对创新教育方法、变量应用的科学化、高效化引用教学作用积极，也是我国高中数学教学的关键组成。

以人教版高一数学必修课课后作业为例，其中有一道题目是关于向量在三角函数中的应用题目。

例题1：已知cosα+cosβ-cos（α+β），对两个锐角α与β的值进行计算。

解析过程如下：由题意得（1-cosβ）cosα+sinβsinα=3/2-cosβ。

设=（1-cosβ，sinβ），=（cosα，sinα），那么*=3/2-cosβ。

则||*||=。

因为|*|≤||*||，所以|3/2-cosβ≤。

那么cosβ=1/2，根据上述公式便可以求出β=π/3，将其带入原公式中，便可得出最终结构。

在题目当中运用向量巧妙地代替了1-cosβ，sinβ。使三角函数的复杂公式变为了简单的数学求解，将复杂的函数关系进行了优化与简列。响亮的运用能够提高解题效率，让学生掌握新的解题思路，使解题方式新颖、便捷并且高效，对于创新解题方式、提高教学效率有着积极作用的。

以人教版高二数学必修课课后作业为例，其中有一道题目是关于向量在代数不等式的应用题目。

例题2：对公式

进行证明。

解析：从不等式的左边 ，设向量a=（x-2，3），b=（5-x，1），进而证明不等式成立。

通过这种方法可以得出：运用三角函数解析的话，数据公式较为繁琐，其出错率较高，而运用向量a=（x-2，3），b=（5-x，1）可以有效的简化公式，使计算方法变得简单、高效。可以算出向量在三角函数的运用中起到了重要的支持作用。

（二）几何中的应用

立体几何是一种空间感较强，解题思路较为繁琐的题目。科学、合理地引用向量解题可以使解题过程更加简捷化、清晰化，对于有效分析立体几何中的图形关系，探寻各个点、线、面之间的几何关系效果显著，在我国高中几何教学中的应用意义重大。

以人教版高二数学必修课课后作业为例，其中有一道题目是关于向量在立体几何汇总的应用题目。

【例题】如下图中线段SAD和SBC垂直，求相邻侧面SAB与SAD的夹角。

解析：以O为坐标原点，建立坐标系Oxyz，使Oy∥AB，Ox∥AD。

设正方形边长是2a，高是h，那么=（-a，a，h），=（2a，0，0），设平面SAD的一个法向量为n1=（x，y，z）。由于n1⊥，同时n1⊥，所以n1=（0，-h，a），又因为=（2a，0，0），=（-a，-a，h），由此可知SBC的一个法向量n2=（0，-h，-a），求出n1=（0，-1，-1），n2=（0，-1，-1）。

面SAB的法向量n3=（1，0，1），所以cos=n2n3/|n2||n3|=-1/2。最终得出结论，SAB与SAD面夹角为120°。

上述解题方法主要是通过将面与面质量的数量夹角转变为变量夹角，如此一来，便可节省平面角度之间的转换。使立体几何面与面之间的夹角转变为两个矢量之间的夹角，进而优化解题过程，明晰解题思路，同时对提高解题效率，创新解题方法效果显著。

三、实施方法

向量在高中数学课堂教学中的应用效果是显而易见的，在数学解题过程中起到的作用也是非常巨大的。因此，将向量科学、合理地融入高中课堂教学，帮助学生建立向量运用意识，使其成为一种数学习惯，对学生成绩的提高以及教学发展意义重大。为了使向量应用于课堂教学形成有效结合，通过分析与探讨可以总结为以下三点：一是提高向量应用的重视程度，教师首先要重视向量在解题中的有效应用。将向量作为一种解题思路，正确、合理地进行应用。其次，进行案例的实际教学。例如在进行三角函数有关题目的解答时，通过运用对比的方式，先使用一般的方法进行解析，再引入向量的方法进行解析。

然后对比两者之间的差异性，以此提高向量应用的价值，激发学生的学习兴趣，使向量能够更好地应用于高中数学教学。三是注重向量的教学方法，使向量的教学能够更具专业化、系统化以及高效化。比如采用分组教学以及小组竞争的形式，老师先将问题提出，然后让学生进行探讨学习。以此来提高教学效率，激发学生的学习积极性，使向量教学能够与课堂教学形成有效的融合，进而提高我国高中教学的教学质量。

向量教学在我国高中数学课程中占有很重要的地位，因此，应更好地将向量概念引入数学课堂中，应用于数学解题中，这对提高教学效率、降低教学难度以及创新解题技巧具有积极作用，也是对教学方法的重要创新。

参考文献：

[1]高维玺. 探究高中数学新课程中的向量及其教学[J].新课程（中），2013，（7）.

[2]刘爽. 高中数学解题中向量方法的应用分析[J].数学学习与研究，2015，（7）.