善用比较提升学生空间思维能力

2020-07-27韩东

中小学课堂教学研究 2020年7期

关键词：比较

【摘要】体积与容积是两个抽象的概念，为了抓住概念本质，促进概念内化，教师在教学中可以利用比较的方法，引导学生在比较中感知、理解并掌握体积与容积的概念，从而培养他们的空间思维能力，同时挖掘数学学习中蕴含的育人内容和属性，把德育巧妙地贯穿在知识的学习中。

【关键词】体积与容积;空间能力;比较

【作者简介】韩东，高级教师，安徽省教坛新星，淮北市小学数学“韩东名师工作室”首席名师，淮北师范大学硕士生导师、兼职教授。

著名数学家弗赖登塔尔指出，几何是对空间的把握。这个空间是儿童生活、呼吸和运动的空间。在这个空间里，儿童必须学会去了解、探索、征服，从而能更好地在其中生活、呼吸和运动。[1]11可见空间观念的发展对学生来说有着重要的作用。如何有效地培养学生的空间思维能力呢？教育家乌申斯基曾说过：“比较是一切理解和思维的基础，我们正是通过比较来理解世界上的一切的。”[2]因此，教师在教学中善用比较有利于学生建立空间观念，加深概念的理解，促使知识的融会贯通。笔者以北师大版数学五年级下册“体积与容积”一课为例，对此进行研究。

一、教学分析

（一）教学疑难点剖析

在教学中，很多教师都有这样的共识：立体图形要比平面图形更难让学生理解，可是无论是人教版、苏教版，还是北师大版的数学教材都是按照“体—形—体”的规律编排，为什么会这样呢？厘清缘由将有利于教师认清“体积与容积”一课的疑难点。首都师范大学的刘晓玫教授把空间观念划分为三个水平：水平1是（完全）直观想象阶段;水平2是直观想象与简单分析抽象阶段;水平3是直观想象与复杂分析阶段[1]25。低年级学生一般处在水平1，他们倾向于初步直观感知基于经验的纯粹想象，很难建立起抽象的几何概念，所以教材让学生先学“体”。但这种学习偏重于让学生粗略地整体感知那些最明显、最突出的单一要素。于是，很多教师反映，在教学中存在以下难点：其一，什么是空间？学生理解它要比理解体积更为重要;其二，体积的大小是什么？学生往往喜欢从长和宽的二维视角（面积）看事物，这将对体积的认识产生负干扰。容积是体积的下位概念，它与体积紧密联系在一起，有了前期空间与体积的认识，容积的学习也就变得简单多了。因此，教学的重点在于通过比较，认识容积和体积的联系与区别，让学生更加理性与深刻地理解容积的概念。

（二）教学关键点突破

奥苏伯尔认为，儿童获得概念有两种形式，即概念形成和概念同化。显然体积概念的教学，应以概念形成为主。比如，对于空间的感悟，通过一些外观差异较大的物体的比较，让学生明确占空间这一关键属性;對于体积大小的比较，从度量入手（长度、面积和体积都是基本的度量概念），凸显体积的三维度量方式，从而改变已有的面积大小观念，然后再用排水法直观感知占空间大小。

对于容积概念的教学，教师应以概念同化为主，让学生在理解了体积概念之后，在体积相同（不相同）而容积不相同（相同）的比较推理中，在如何增大体积或容积的比较思辨中，自然感悟体积外观空间，容积内察容纳。因此，不管是概念形成还是概念同化，都强调比较在“体积与容积”概念教学中的作用，通过比较可以帮助学生提炼体积与容积概念的本质属性，并对其异同点及内在联系加以辨析，以构建整体知识结构。

（三）教学德育点渗透

立德树人是教育教学的根本任务，教育家托马斯·里考纳认为，各科教学对道德教育来说是一个“沉睡的巨人”，潜力极大[3]。数学学科也不例外。在“体积与容积”的教学中，教师除了教授学生课本上的知识，还可以以盒子包装作为教学的切入点，落实立德树人任务，增强学生节约和环保的意识。

二、教学实践与设计

（一）在比较中感知空间大小

在教学伊始，教师首先提出以下问题引发学生思考。

问题：如图1，这有两箱相同品牌的饼干，售价都是30元，你会到哪个超市去买？为什么？

在教学中，笔者发现很多学生选择A超市，因为学生觉得A超市的饼干包装占的空间大，B超市的饼干包装占的空间小。接着，教师让学生举例说明身边哪些物体占的空间大，哪些物体占的空间小。

【设计意图】大小不同的两个包装箱的比较问题，不仅拉近了教师与学生的距离，还使学生在明显的视觉对比中，轻松感知空间的存在，并感悟到空间有大小之分，同时也为后续的拒绝“过度包装”教学埋下伏笔。教师让学生结合身边的物体，对比物体所占空间的大小，从而让学生对空间建立起清晰、鲜明的概念。

（二）在比较中深化体积理解

1体积概念的生成

教师引导学生举例说明物体的体积，让学生认识体积的概念。

师：生活中的物体都占了一定的空间，像这样，物体所占空间的大小叫做它们的体积。

师：同学们能说一说其他物体的体积吗？2体积大小的比较

师：如图2，你能一眼看出哪个物体的体积最大，哪个物体的体积最小吗？

（1）产生矛盾

学生举手发言，分别说出了自己的答案。教师发现大家答案不统一，于是激发学生进一步探究。

（2）比较方法

A观察法

师：虽然大家的意见不统一，但比较时怎么都把③排除在外呢？

生：因为③一眼看上去就知道不是最大或最小的物体。B计算法

师：那么①和②哪个的体积最大？绝大多数学生认为②的体积最大，学生开始争辩。有的学生认为通过观察就可以得出①的体积最大;有的学生认为②虽然看起来小，但是它比①厚，所以②的体积最大。最后，教师引导学生用数一数的方法进行比较：①一共有3×5=15包纸面巾，②一共有3×6=18包纸面巾，所以②的体积最大。

师：为什么刚一看好像①的体积最大呢？

生1：因为①的面大，所以人们潜意识就认为它的体积大。

生2：以前我们比较大小只看长和宽就行了，但体积要看长、宽和高。

师：这位同学说到点子上了，以前大家比较大小时，只关注二维的面，而体积是三维的体，它有长、宽、高三个维度，我们要有很好的空间想象力才行。C排水法

师：④和⑤哪个的体积最小？有的学生认为⑤的体积最小，因为⑤的两头都是尖的;有的学生认为虽然⑤的两头尖，但是它比④大，所以④的体积最小;有的学生认为④从头到尾都大，所以⑤的体积最小。

师：看来大家谁也说服不了谁，你们有什么办法比较它们的体积大小吗？学生说出各种比较的方法，例如描边比较、掂重量、溢水法、排水法等。最后师生一起通过以下实验得出结论，即在两个烧杯中倒入同样多的水，分别放入两个物体，比较水面高低，得出④的体积最小。

师：为什么放入④后水面升高了？

生：④占了空间。

师：为什么放入⑤后水面也升高了？

生：⑤也占了空间。

师：那为什么装⑤的杯子里的水位比装④的杯子里的水位要高？

生：因为⑤比④的体积大。【设计意图】张奠宙教授指出，给五年级学生讲体积应该从度量入手，体积是对三维物体大小的一种度量，和线段的长度、平面图形的面积加以对照，就能增加对体积的理解[4]。因此，在这个教学环节，笔者设计了三个层次的比较活动：第一层次是通过直接观察比较得出体积大小（矿泉水瓶）;第二层次是比较两包纸面巾的体积大小（一包正面大但薄，一包正面小但厚），从而引发学生的争论，正是在体积大小的辨析中，改变了学生已有的面积大小观念，凸显体积的三维度量方式，同时也为今后计算长方体体积打下基础;第三层次是比较不规则物体（土豆和红薯）的体积大小，有了前面的比较基础，学生自然会从长、宽、高三个维度思考问题，但不规则物体很难直观比较体积大小，于是教师通过实验利用排水法让学生更直观地感知物体所占空间的大小。

3巩固提升

（1）如图3，用相同数量的硬币分别垒成下面的形状，哪个体积最大？为什么？

在学生的答题中，笔者发现有两种答案：一是③体积最大;二是①和③体积都是最大的。两种答案的学生各执己见：有的学生认为③倾斜后，体积变大了;有的学生认为③虽然倾斜了，但都是10枚一样的1元硬币，体积一样大。最后，一位学生提出：把①和③都放在同样多的水里，因为都是10枚一样的1元硬币，水面上升肯定一样高，所以体积一样大。

（2）用相同的四个小正方体，排成如图4的两个长方体。两个长方体的表面积相同吗？体积呢？

师生共同探讨，得出表面积不同，但体积相同的结论。于是，教师顺势对学生进行以下引导。

师：从这道题中我们发现，体积和表面积好像不是一回事。表面积相等，体积不一定相等;表面积大，体积也不一定大。

（三）在比较中感悟体积与容积的不同

1理解容积概念

师：现在大家对于体积的感悟更深刻了吧。让我们再来仔细观察图2的五个物体，你有没有发现哪个物体与众不同？通过教师引导，学生发现矿泉水瓶最特殊，可以装水、沙子之类的东西。于是学生得出以下结论：像矿泉水瓶这样，里面能装东西的物体，我们把它叫做容器。接着教师让学生说一说身边还有哪些容器。

师：这些容器都有一个共同的特点，就是它们都能容纳物体。像这样，容器所能容纳物体的体积，就是它的容积。

师：矿泉水瓶的容积是什么？

生：矿泉水瓶的容积就是矿泉水瓶所能容纳物体的体积。接着，通过现场倒水试验，教师继续引导学生思考：先不倒满，这是它的容积吗？如果不是，那么什么才是它的容积？

2比较大小

（1）实验质疑

首先，教师让学生观察2个外观相同的矿泉水瓶，比较两者的体积和容积是否相同，当学生得出外观相同的矿泉水瓶体积和容积都相同的结论后，教师把其中的一瓶矿泉水倒入另一瓶中，看看是否正好装满，以印证结论的正确性。此时，学生发现还剩一点水，从而引发强烈的好奇心。

师：好神奇，居然还剩一点水！这说明两个矿泉水瓶的容积不一样，为什么呢？课堂顿时活跃起来，学生猜测，可能一个瓶子是扁的或是提前倒出了水，但都被否定了。另外一名学生提出了自己的想法：其中一个瓶子底部提前装了一些东西。当教师提起瓶子，学生恍然大悟，原来一个瓶子里加了石块。最后，教师和学生共同得出结论：体积相等，容积未必相等。

（2）变化大小

师：如果想把其中一个矿泉水瓶的容积变小，怎么办？

生：往矿泉水瓶里面加些东西。

师：如果想把其中一个矿泉水瓶的体积变大怎么办？

生：在矿泉水瓶外面加些东西。

师：体积和容积有时还真的不是一回事，它们有什么区别？师生探究后得出结论：体积是从外面看物体占多大空间，容积是从里面看能容纳多大体积。外观占空间，内察能容纳。

【设计意图】思维自惊奇和疑问开始，教师出示两个外观完全相同（体积相同），但内部却有差异的矿泉水瓶（容积不同）。学生以为容积会一样大，结果一倒水才发现了问题，他们在“心求通而未达，口欲言而未能”中积极思考，主動探究，感悟体积与容积的不同。接着又在如何使体积和容积变大或变小的问题中，让学生体会体积和容积的区别，从而深入理解两者的含义。

3是否有容积

教师出示一个泡沫，并提问学生。

师：泡沫有体积和容积吗？当学生得出泡沫有体积没有容积的结论后，教师把泡沫翻转过来，学生发现里面居然挖了个洞，于是纷纷改口说有容积。

师：为什么有容积？

生：能容纳物体。教师通过不断追问以及巧妙的课堂问题设计，让学生更进一步理解体积和容积的区别，加深对容积概念的理解。

4容积大小

教师让学生思考：淘气和笑笑各有一瓶同样的饮料，淘气倒了3杯，而笑笑只倒了2杯，你认为有可能吗？从而激发学生探究的积极性。

（四）在比较中渗透德育教育

1回归课始的饼干问题

教师让学生再回到课堂伊始的饼干问题，引发学生思考：你认为A超市的那箱装的饼干就一定多吗？接着，教师通过PPT揭开谜底后，学生的学习兴趣得以激发。

师：大家为什么笑了？

生：大的那箱容积很小，小的那箱容积却很大。2德育教育