基于蒙特卡罗方法的速率分布函数演化过程研究

尹增谦 武丽姣

(华北电力大学数理系， 河北 保定 071003)

理论和实验研究表明，气体系统处于平衡态时，其分子数按速率的分布函数为麦克斯韦分布函数[1]

(1)

分子间的碰撞是使气体系统从非平衡态弛豫到达平衡态的重要物理过程，研究在这个弛豫过程中速率分布函数的演化具有重要意义[2-5]，而蒙特卡罗方法是研究具有随机性质的物理过程的有效方法[2,3,6]。

本工作利用蒙特卡罗方法，用独立随机数分别抽样得到碰撞分子对以及碰撞前速度的方向，建立了对方均根速率进行修正的计算方案，获得了分子间碰撞对分子速率分布函数演化影响的规律。研究结果表明，当全体分子的初始速率为一定分布(如分布在一个或两个数值上)时，随着碰撞次数的增多，其速率分布函数逐渐趋向于麦克斯韦分布函数。在分布函数的演化过程中，分子的方均根速率基本保持不变，而平均速率发生明显变化并趋近于一个确定值。

1 理论分析

按照理想气体模型，分子与器壁之间以及分子与分子之间发生的碰撞为弹性碰撞，而分子与器壁之间的碰撞不会改变分子的速率大小，从而不影响速率分布函数，所以不考虑分子与器壁之间的碰撞。

1.1 分子间的弹性碰撞分析

如果两个同种分子发生弹性碰撞，不失一般性，假设其作用力的方向为x轴方向，则碰撞后两个分子各自的x轴方向速度分量vx互换，而其他速度分量vy、vz不变。亦即，若参与碰撞的两个分子A、B碰撞前的速度分量分别为vAx、vAy、vAz和vBx、vBy、vBz，碰撞后速度分量分别为v′Ax、v′Ay、v′Az和v′Bx、v′By、v′Bz，则有

(2)

显然，碰撞后两个分子的速率分别为

(3)

如果假设碰撞作用力的方向为y轴或z轴方向，则应有

(3a)

或

(3b)

根据上述分析结果，由碰撞前两个分子A、B的各速度分量vAx、vAy、vAz和vBx、vBy、vBz，就可以根据式(3)或式(3a)、(3b)计算出碰撞后分子A、B的速率v′A、v′B。

为了便于对气体系统中分子碰撞的数值模拟，用描述速度大小的速率以及描述速度方向的夹角来代替各速度分量。如果分子A、B的速度方向与z轴的夹角分别为θA、θB，速度矢量在xoy平面上的投影与x轴的夹角分别为φA、φB，如图1所示，则分子速度在x、y、z轴上的分量分别为

图1 分子速度方向及分量示意图

(4)

所以，根据碰撞前两个分子A、B的速率vA、vB以及描述其速度方向的角度θA、φA、θB、φB，就可以根据式(3)和式(4)得到碰撞后的速率v′A、v′B。

1.2 抽样方法

假设气体系统中，分子速度的方向是均匀分布的，即θ与φ分别在(0，π)和(0，2π)之间均匀随机分布。所以，我们就可以利用随机数得到描述参与碰撞的两个分子A、B速度方向的角度θA、φA、θB、φB。碰撞前分子A、B的速率vA、vB为上一次碰撞后的结果，启动数值模拟时，vA、vB为给定初始速率值或者由给定的速率分布函数抽样得到。

1.3 方均根速率修正方案

如果没有计算误差，基于式(3)或式(3a)、(3b)计算得到的碰撞后分子速率，满足碰撞后动能之和等于碰撞前动能之和，即经过多次碰撞后气体系统的分子动能之和即方均根速率保持不变。然而，由于数值计算中不可避免的计算误差，有可能随着碰撞次数的逐渐增多而逐渐累积，即分子动能之和可能发生较大的变化。鉴于这种情况，我们在计算程序中加入修正，即在每经过一定次数(比如50000次)的碰撞后，计算系统分子的方均根速率，求得其与初始设定值的差值，然后按比例修正当前每个分子的速率，使分子方均根速率与初始设定值相等。

2 数值模拟计算结果

在本工作的数值计算中，假设所有分子的初始速率为一个值，或者一半分子具有一个值而另一半分子具有另外一个值。

图2 速率分布函数曲线的演化(实线为数值模拟结果，虚线为T=300K的麦克斯韦速率分布函数曲线)(a) 105个分子，碰撞次数105； (b) 105个分子，碰撞次数2×105； (c) 105个分子，碰撞次数5×105； (d) 105个分子，碰撞次数109。

图3 方均根速率、平均速率随碰撞次数的演化

图4 速率分布函数曲线的演化(实线为数值模拟结果，虚线为T=300K的麦克斯韦速率分布函数曲线)(a) 105个分子，碰撞次数105； (b) 105个分子，碰撞次数2×105； (c) 105个分子，碰撞次数5×105； (d) 105个分子，碰撞次数109

图5 方均根速率、平均速率随碰撞次数的演化

总之，无论是分子的初始速率为一个值还是两个值，气体系统都不是处于平衡态，通过分子间碰撞，速率分布函数发生变化，随着碰撞次数的增大，速率分布函数逐渐趋向于相应的麦克斯韦分布函数。

为了检验碰撞方向的选取对速率分布函数的影响，我们计算了碰撞分别发生在x轴、y轴以及z轴方向时，速率分布函数的演化情况，即在模拟程序中分别执行式(3) 、式(3a)以及式(3b)，图6给出了一个典型的模拟结果。结果表明，无论采用式(3) 、式(3a)还是式(3b)，随着碰撞次数的增多，速率分布函数总是逐渐地趋向于麦克斯韦分布函数，但是，以z轴为碰撞方向的计算结果与以x轴、y轴为碰撞方向的计算结果有较明显的差别，其原因也许是抽样时vz是由一个随机数产生的，而vx、vy是由两个随机数产生的。

图6 选取不同碰撞方向的模拟结果(105个分子，碰撞次数5×106)(a) 碰撞方向为x轴； (b) 碰撞方向为y轴； (c) 碰撞方向为z轴

需要指出的是，本文工作中计算的碰撞次数所对应的真实物理过程的时间是很短暂的，分子的个数也是很少的，而且局限于同种分子。例如，标准状况下，空气分子的平均碰撞频率为6.5×109[1]，即平均每个分子在一秒时间内发生6.5×109次的碰撞，而本文工作中105个分子最多才发生了109次碰撞，即相当于大约10-4秒的物理过程。另外，105的分子个数也显得很小，与真实的气体系统差别很大。如何实现对大分子数、多种类分子气体系统、更长时间碰撞过程的精确模拟，以及研究碰撞方向的选取对结果的影响等是具有重要意义的工作，我们正在深入研究。

3 结语

利用蒙特卡罗方法和我们建立的方均根速率修正方案，对分子速率分布函数以及分子平均速率的演化进行了数值模拟。结果表明，随着碰撞次数的增大，速率分布函数逐渐趋向于相应的麦克斯韦分布函数，分子的平均速率也逐渐趋向于相应的确定值。