设计有效数学活动，促进知识内涵理解——“角的初步认识”案例分析

江苏锡山高级中学实验学校第一小学 季欣阳

“角”是义务教育阶段“图形与几何”部分内容学习的重要基础。小学阶段主要分两段教学：第一阶段是初步认识角；第二阶段是角的再认识。本文要讨论的是苏教版数学二年级下册“角的初步认识”的教学。由于该年龄段的学生认识抽象的角存在一定困难，所以精心设计有效的数学活动尤为重要。通过不断摸索，我们终于从“模模糊糊”走向了“清清楚楚”，找到了一些容易被学生接受的教学方法。下面就结合几个片段前后的设计对比，谈谈如何设计有效的数学活动。

一、利用已有认知，主动建构表象

【片段一 原设计】

认识特征

看图并用“角”组词。（出示牛角、眼角、嘴角、三角尺、书角、五角星）

谈话：把这些角描出来，像下面这三个图形就是我们数学中的“角”。（出示图片）

提问：跟上面的3个图形相比，你觉得角最大的特征是什么？

辨析图形“/ ”是否为角。

指出：像这样直直的线，数学家称它为边。角的两边连在一起，称为相交。而这个相交的点称为顶点。

教师示范指角方法，并用小弧线表示。学生指一指后两个角。

提问：仔细观察，角有几个顶点几条边？

判断三个角旋转后是否依旧是角，并小结。【片段一 修改后】

认一认。

（1）看图并用“角”组词。

提问：你觉得这里面哪些可能是我们今天要研究的数学中的角？

引导：上面这些牛角、眼角、嘴角，虽然都带有“角”字，但和数学上的角关系不大，今天就不研究了。把下面这些描出来，得到的图形就是数学中的角。

提问：仔细观察，角有哪些特征？

预设：直直的边、尖尖角。

相机指出：像这样直直的线叫做“边”。这是它的边，这也是它的边。角的两边连在一起的点就叫“顶点”。

追问：角有几个顶点几条边？

（2）教师边说边示范指角方法，并用小弧线表示。学生指一指后两个角。

（3）判断三个角旋转后是否依旧是角。

指出：虽然位置发生了改变，但它们还是具备角的两个特征，所以是角。

教师在最初设计时考虑到角的知识过于抽象，为了降低理解难度，设计了很多引导，限制了学生的发挥空间，使得教学过程十分僵硬。但试课后却发现学生的认知水平远高于预设，他们有一定的生活经验，之前也初步认识了简单的平面图形，完全能感知到立体的角和近乎平面的物品上的角的差别。所以经过修改，让学生凭借数学直觉从六个“角”中找出本节课要研究的对象，经过抽象，舍去无关因素，突出数学意义上的角，让学生在头脑中初步建构角的表象。在观察角的特征时，并不需要教师提供“/ ”这样的图形，学生基本都能说到“尖尖的”，教师结合回答指出：“角的两条边连在一起的点就叫做顶点”。由于“相交”概念不属于本阶段学习范畴，故在修改后删除了这个词。

此外，修改后的教学环节条理更清晰，安排更合理。主要分四个层次，第一层次，揭示数学意义上的角，让学生在头脑中初步形成角的表象。第二层次，通过观察认识角的特征。第三层次，规范指角的方法，即从顶点出发，指两条边，并用弧线表示两边所夹空间。这个层次一方面是让学生进一步感受角的特征，另一方面是为后续以静态描述方式定义角（即“从一个点引出两条射线可以组成角”）做孕伏。第四层次，提供角的变式，丰富角的感知材料，深化角的表象。

对比前后两次教学，明显能感觉到后者给了学生更大的发挥空间，也更尊重他们的已有认知，充分体现了学生在课堂中的主体地位。通过层层递进的教学环节，让学生自主建构角的表象，发展空间观念。

二、借助游戏活动，深化角的认知

【片段二 原设计】

学生拼搭一个角，使它变大或变小。同桌两人比角。

全班交流如何比较两个差不多大的角。

小结方法——观察法和重叠法。

（出示两条边很长的角）

提问：这个角比你们做的角都要大，你同意吗？

学生上台用重叠法比较。

指出：角的大小与两边张开程度有关，两边张开得大，角就大；张开得小，角就小。与所画边的长短有关系吗？

【片段二 修改后】

做一做。

（1）出示要求，学生做一个角。

引导学生想办法比较两个差不多大小的角。

介绍重叠法，指出观察法和重叠法的适用情况。

同桌两人比较角的大小。

（2）谈话：下面我可要请小朋友们给手中的活动角施点魔法了。你可得边玩边思考！听好魔法指令！请让手中的角变大点！再变大！还再大一点！变小！再变小！还要更小！

提问：有什么发现吗？

谈话：我这里还有一个超级角呢！比你们任何一个人做的角都要大！

提问：我这个角大不大？你怎么觉得它大了？（边很长）

请提出反对意见的学生做一个比“超级角”大的角，并用重叠法比一比。

引导：我要把这个角的边再变长点，这下比他的角大了吧？再变长点，够大了吧？再变长，大不大？如果我把边剪短一些，这个角变小了吗？再剪掉点，变小了吗？再剪掉！变小了吗？（很短的边）

提问：通过刚才的游戏活动，你有什么想说的吗？

指出：角的大小只和两边张开程度有关，两边张开得大，角就大，两边张开得小，角就小，和所画边的长度没有关系。

在游戏中学习是每个学生喜闻乐见的形式，也是习得知识与技能的一种重要途径，又特别符合二年级学生的心理特点，所以课堂中添加游戏无疑像注入了“催化剂”。

本节课的难点是认识角的大小只与两边张开程度有关以及掌握比较角的大小的方法。如何才能让学生深刻体会知识的内涵，教师又如何引导学生以积极的心态投入数学学习一直是笔者思考的问题。原本笔者的设想是只要让学生玩起来，就能激发他们的学习兴趣，促进知识的吸收，但事实上缺乏“思”的“玩”在数学教学中毫无意义。所以就出现了学生玩过后还是没有理解知识的内涵的现象。所以修改后笔者引导学生带着思考去玩，这样更有针对性。该片段同样设置了三个层次：第一层次，做角并比较大小，掌握重叠法；第二层次，让学生经历角变大变小的过程，初步感受角的大小和两边张开程度有关；第三层次，利用归谬思想，让学生在一次次辨析中进一步感知决定角的大小的因素。其中最精彩的就是将角的两边三次延长，再三次剪短，直至两边变得非常短的过程。夸张的演示给学生留下了深刻的印象，使他们能更好地理解角的大小只与两边张开程度有关，对角的认识也更进了一步。

三、分层拓展训练，有效内化知识

【片段三 原设计】

总结与提升

1.想想做做第3题。（略）

2.想想做做第4题。

比较两块三角尺上的角，并找出最大的一个角。

学生演示用重叠法比较角的大小。

指出：两块不同的三角尺上有一个角是一样大的，说明角的大小和两边的张开程度有关。

3.拓展训练

有序地数一数图形里有几个角。

交流展示：三条边：2+1=3；四条边：3+2+1=6；五条边：4+3+2+1=10……

提问：如果一百条边，你能用算式表示一共有几个角吗？

【片段三 修改后】

（一）深入认识

1.比一比。

（1）想想做做第3题。（略）

（2）想想做做第4题。

引导：每块上分别有几个角？请同桌两人相互比一比尺上的角，说说有什么发现。

预设1：两块形状不同的三角尺上有一个角（直角）是一样大的。

预设2：形状相同的三角尺上，对应位置的角一样大。

出示两块教具三角尺，引导学生思考大小三角尺上角的关系，并验证。

小结：形状类似的两块三角尺，虽然大小不同，但对应位置的角总是一样大的。

（二）内化知识

1.连一连。按顺序把点用直线连起来。

交流连成了什么图案，并指一指角，说说是怎么看出来的。

指出：角有一个顶点和两条直直的边，连点成线就能创造出包含很多角的图形。

2．折一折。

出示一张正方形纸。

引导：这上面有几个角？除了这4个角，你还能再折一个角出来吗？展示并比较两位学生折的角。

引导：继续折一个比这个再大一些的角。你是怎么折的？（往里折点）

3.剪一剪。

出示：剪掉正方形纸的一个角，还剩几个角呢？

学生活动，并展示作品。

……

引导学生想出更多方法。

在图形的学习中，操作对学生来说至关重要，只有经历了画、摆、折、剪等数学活动，才能有效内化所学知识，所以习题的挑选和设计十分关键。原设计的练习按部就班，显得不够新颖，也缺乏思考，最后一题拓展又过分拔高要求。于是笔者重新布局，将教材中比较简单的第3、4题归为一块，意在丰富学生对角的感知，促进他们进一步掌握比角方法。另外设计了连一连、折一折、剪一剪三个游戏，拓展思维的同时使学生感受角与平面图形的内在联系，发展空间观念，为以后“图形与几何”的学习埋下伏笔。这样的设计既促进了知识内涵的理解，又培养了学生的数学素养。

通过打磨“角的初步认识”这节课，笔者意识到教学中只有设计有效的数学活动，才能让学生真正有所收获，数学核心素养才能得到发展。